小学数学问答手册(三、整数、小数四则应用题)

三、整数、小数四则应用题

122.我们经常遇到的用加法、减法解答的一步应用题有哪些？

　　1.用加法解答的一步应用题主要有以下几种情况。

　　（1）求两个数的和。这种情况的题目，根据日常生活中的实际情形，又可分为以下几种。

　　①在原数上添上一个数

　　例：铅笔盒里有3支铅笔，又放进去2支，现在共有几支铅笔？

　　3＋2=5（支）

　　②求两个数的和

　　例：小悦有3支铅笔，小鹏有2支铅笔，他们共有几支铅笔？

　　3＋2=5（支）

　　③求被减数

　　例：开学以来，小勇用了3支铅笔，还剩下2支，他原来有几支铅笔？

　　3＋2=5（支）

　　（2）求比一个数多几的数。这就是已知较小数与大、小两数之差求较大数。这也是用加法解答的一种简单应用题。

　　例：六年级学生栽了8棵柳树，后来又栽杨树，栽的杨树比柳树多4棵，栽了多少棵杨树？

　　8＋4=12（棵）

　　对于上例，可以适当改变已知条件的提法，成为下题的情况。

　　例：六年级学生栽了8棵柳树，后来又栽杨树，栽的柳树比杨树少4棵，栽了多少棵杨树？

　　8＋4=12（棵）

　　2.用减法解答的一步应用题主要有以下几种情况。

　　（1）求剩余。这种情况的题目，根据日常生活中的实际情形，又可分为以下几种。

　　①求剩余

　　例：粉笔盒里原有10支粉笔，用了4支，还剩几支？

　　10-4=6（支）

　　②求另一个加数

　　例：粉笔盒里有红粉笔和白粉笔共10支，其中有红粉笔4支，白粉笔有几支？

　　10-4=6（支）

　　③求减数

　　例：粉笔盒里原有10支粉笔，老师讲一节算术课之后，粉笔盒里还剩下4支粉笔，用了几支粉笔？

　　10-4=6（支）

　　（2）求两个数的差。这是比较两个数的大小，可以求出较大数比较小数多多少，或者求出较小数比较大数少多少。

　　例：五年级学生种了30棵向日葵，四年级学生种了20棵向日葵。五年级比四年级多种几棵？四年级比五年级少种几棵？

　　30-20=10（棵）

　　（3）求比一个数少几的数。这就是已知较大数与大、小两数的差求较小数。这也是用减法解答的简单应用题。

　　例：五年级学生种了30棵向日葵，四年级学生比五年级少种10棵，四年级学生种了多少棵向日葵？

　　30—10=20（棵）

　　总之，加法、减法简单应用题可以分为两组。

　　第一组两个单量同总数之间的关系：

　

　　

　　第二组比较两个数相差多少：

　

　　

123.我们经常遇到的用乘法、除法解答的一步应用题有那些？

　　1.用乘法解答的一步应用题主要有以下几种情况。

　　（1）求几个相同加数的和。根据乘法定义解答这种类型的乘法应用题。

　　例：校园里有3行梧桐树，每行12棵，共有梧桐树多少棵？

　　12×3=36（棵）

　　（2）求一个数的几倍是多少。根据“倍”的概念解答这种类型的乘法应用题。

　　例：四年级的图书角有故事书80册，五年级的图书角有故事书的册数是四年级的3倍。五年级有故事书多少册？

　　80×3=240（册）

　　2.用除法解答的一步应用题主要有以下几种情况。

　　（1）把一个数平均分成几份，求一份是多少。这是用除法解答的一种简单应用题。通常把这种除法应用题，叫等分问题。

　　例：学校买来18个小足球，平均分给6个班，每个班可以得到几个小足球？

　　18÷6=3（个）

　　（2）求一个数里包含几个另一个数。这是用除法解答的一种简单应用题。通常把这种除法应用题，叫包含问题。

　　例：学校买来18个小足球，每班给3个，可以分给几个班？

　　18÷3=6（个班）

　　（3）求一个数是另一个数的几倍。这是用除法解答的一种简单应用题。这种应用题是比较两个数（或量）之间的倍数关系。

　　例：两条水渠，第一条水渠长800米，第二条水渠长400米，第一条水渠的长度是第二条水渠的几倍？

　　800÷400=2（倍）

　　（4）已知一个数的几倍是多少，求这个数。这是用除法解答的一种简单应用题。通常把这种类型的应用题，叫做求一倍的数。

　　例：两条水渠，第一条水渠长800米，它是第二条水渠长度的2倍，求第二条水渠长多少米？

　　800÷2=400（米）

　　总之，乘法、除法简单应用题可以分为两组。

　　第一组相同加数、相同加数的个数同积之间的关系：

　　第二组两个数之间的倍数关系：

124.用综合法解题是怎样的思路？

　　综合法的解题思路，是从已知条件出发，根据数量关系，先选择两个已知数量，提出可以解的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解的问题；这样逐步推导，直到求出应用题所要求的问题为止。

　　例：某服装厂计划做制服1030套。前5天每天做70套，改进工作方法后，每天可做85套。求改进工作方法后，还需要几天完成？

　　采用综合法，解题思路如下：

　　（1）前5天每天做70套，可以求出已经做的套数；

　　（2）计划做1030套和前5天已经做的套数，可以求出还要做的套数；

　　（3）还要做的套数及以后每天做85套，就可以求出还需要的天数。

　　用图表示如下：

125.用分析法解题是怎样的思路？

　　分析法的解题思路，是从应用题的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件；然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需要的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在应用题里都是已知的为止。

　　上述（124）例题，采用分析法，解题思路如下：

　　（1）要求出还要做的天数，就必须知道还要做制服的套数（未知的）和以后每天做的套数（85套）；

　　（2）要求出还要做制服的套数，就必须知道计划做的套数（1030套）和已经做的套数（未知的）；

　　（3）要求出已经做的套数，就必须知道已经做的天数（5天）和每天做的套数（70套）。

　　用图表示如下：

126.用综合法或分析法解题时要注意些什么？

　　综合法与分析法的解题思路是相反的。在解题过程中，分析和综合并不是孤立的，而是互相联系的。在解答应用题的时候，两种方法要协同运用。用分析法思考的时候要随时注意应用题的已知条件，也就是哪些已知条件搭配起来可以解决所求的问题，因此，可以说，分析中也有综合。用综合法思考的时候，要随时注意应用题的问题，为了解决所提的问题需要哪些已知条件，因此，综合中也有分析。在解题过程中，两种方法结合使用为好。

127.什么叫做文字式题？

　　用文字表达数与数之间的运算关系的题目，通常叫做文字式题。例如，29乘以5的积，加上540除以9的商，和是多少？列出算式： 29×5＋ 540÷9=？又如，160加上 48乘以3的积，再减去174，差是多少？列出算式：160＋480×3--174=？文字式题也叫文字叙述题。

128.怎样分清增加、增加了、增加到、增加几倍等概念？

　　（1）增加：在原有的基础上加多少，叫做增加。例如，书架上原来有故事书 90本，后来又增加 40本，现在一共有多少本？又如，学校科技小组原有组员 26人，后来又增加 6人，现在共有组员多少人？

　　（2）增加了：比原有的数多了的部分。例如，图书馆原有科技书540本，现在有科技书650本，增加了110本。又如，学校原有小足球18个，现在共有小足球24个，增加了6个。

　　（3）增加到：在原有的基础上增加了一部分之后，所达到的结果。也就是说，原有的数加上增加的数，得出增加到的数。即：

　　原有的数+ 增加的数=增加到的数

　　（4）增加几倍：比原来的数多了几倍。比如，比原数增加 2倍，那么增加后的数就是原数的 3 倍；如果比原数增加n倍，那么增加后的数就是原数的（n＋1）倍。

　　用图表示：

　

129.怎样分清减少、减少了、减少到等概念？

　　（1）减少：从原有的数里去掉一部分，叫做减少。例如，去年种大白菜140亩，今年减少20亩，今年种大白菜120亩。又如：在建筑工地上，原计划安排30人运土，后来减少6人，由24人运土。

　　（2）减少了：比原有的数减少了的部分。例如，第一车间制造一种机器零件，上个月出废品7件，这个月出废品4件，减少了3件。又如，学校锅炉房上个月烧煤1100千克，这个月烧煤950千克，减少了150千克。

　　（3）减少到：从原有的数里减少一部分之后，所得的结果。也就是说，原有的数减去减少的数，得出减少到的数。即：

　　原有的数-减少的数=减少到的数

130.怎样理解扩大、扩大了、扩大到等概念？

　　（1）扩大：在原来的基础上扩展、扩充或放大，叫做扩大。在小学数学教材中，扩大常与“倍”联系起来使用。例如，某数扩大5倍，它的结果就是某数乘以5。如果汽车的时速一定，路程扩大3倍，所用的时间也扩大相同的倍数。

　　（2）扩大了：某数扩大了几倍，指的是扩大了的那一部分相当于原来某数的几倍。例如，学校小操场的面积原来有120平方米，现在又扩大了2倍，这就是说扩大了的面积是240平方米，加上原有的面积共是360平方米。

　　（3）扩大到：扩大到几倍，指的是某数（或量）扩大之后的结果相当于原数（或量）的几倍。例如，学校小操场的面积原来有120平方米，现在扩大到3倍，现在的面积就是（120×3=）360平方米了。

131.怎样理解缩小、缩小了、缩小到等概念？

　　（1）缩小：在原来的基础上由大变小，叫做缩小。在小学数学教材中，缩小常与“倍”联系起来使用。例如，某数缩小4倍，就是某数除以4。如果汽车的时速一定，路程缩小3倍，所用的时间也缩小相同的倍数。

　　（2）缩小了：缩小了几分之几，指的是缩小了的部分相当于原数的几分之几。例如，学校小花园的面积原来有40平方米，现在缩小了五分之二，

　　（3）缩小到：缩小到几分之几，指的是缩小后的结果相当于原数的几分之几。例如，学校小花园的面积原来有40平方米，现在缩小到原来面积的

　　注意：“某数缩小到三分之一’与“某数缩小三倍”是同样的含义。

132.图解法在解题过程中的作用是什么？

　　由于图形直观，用图来表示已知和所求，有助于思考，易于引出解题的线索。画图，是个手段，目的是培养学生学会思考问题。我们的着眼点不能停留在画图上，而着眼于提高学生分析问题的能力。

　　乌克兰有一位教育家，名叫瓦·阿·苏霍姆林斯基（1918--1970），他在数学教学中，要求学生“把应用题画出来”。具体地说，就是在练习本上，从中间分成两半，左边一半用来解答习题，而右边的一半则用来以直观的、示意的办法把应用题画成图解的样子。他的用意，就在于保证学生由具体思维向抽象思维过渡。他曾经说过：“如果哪一个学生学会了‘画’应用题，我就可以有把握地说，他一定能学会解应用题。”

　　学生学会了用图解法解答应用题以后，需要时就能手脑并用，借助操作和直观发现解题方法。

　　画图的形式可以灵活多样。如枝形图（也叫分析图）、线段图、点子图、几何图形等等。要根据题目内容选定画图的形式，只要能够正确表示出数量间的关系就可以了。

　　画图，要准确简明。所谓准确，就是准确地表示出原题的已知和所求；所谓简明，就是简单明了，便于观察思考。画图的过程，正是分析题意理解题意的过程，也正是探索解题方法的过程。

　　总之，培养学生画图能力，是提高学生分析问题和解决问题能力的重要一环。教学时，既要着眼于能够使学生解答现在所学习的应用题，又要着眼于将来能够解答更难一些的题目。培养学生画图能力，要有所安排，并且坚持不懈。

133.为什么说“掌握简单应用题的解法是解答复合应用题的基础”？

　　在学习简单应用题过程中，可以理解加、减、乘、除法的意义以及这些法则在实际中的应用。同时，简单应用题是组成复合应用题的因素，几个有联系的简单应用题组合在一起，就构成了复合应用题。

　　通过解答简单应用题，逐步理解数量之间的关系。从解题的角度来讲，数量之间的关系是确定算法的依据。理解数量之间的关系，主要目的是能够把数量之间的关系同加、减、乘、除的法则联系起来，遇到简单应用题能够正确选择算法，并且正确计算出来。

　　在解答复合应用题的过程中是分解成几个简单应用题来解的，所以说，掌握简单应用题的解法是解答复合应用题的基础。下面，我们解答两道复合应用题，可以看出简单应用题同复合应用题的关系。

　　例1：柳林坨乡修一条长3600米的水渠，原计划30天完成。实际修筑时，每天比原计划多修了30米。求修完这条水渠实际用了多少天？

　　解：（1）原计划每天修多少米？

　　3600÷30=120（米）（工作总量÷时间=工作效率）

　　（2）实际修筑时，每天修多少米？

　　120＋30=150（米）（已知较小数与差，求较大数）

　　（3）实际上用了多少天？

　　3600÷150=24（天）（工作总量÷工作效率=时间）

　　答：修完这条水渠实际用了24天。

　　这道复合应用题，是用三步计算解答的，也就是由三个简单应用题组合而成的。这三个简单应用题是：

　　（1）把一个数平均分成几份，求一份是多少的除法题。

　　（2）求比一个数多几的数的加法题。

　　（3）求一个数里有几个另一个数的除法题。

　　例2：某农具厂原计划每月生产农具250部，技术革新后，9个月的产量比原计划全年的产量还超过150部，求技术革新后平均每月生产多少部？

　　解：（1）原计划全年生产农具多少部？

　　250×12=3000（部）（工作效率×时间=工作总量）

　　（2）技术革新后，9个月共生产多少部？

　　3000＋150=3150（部）（已知较小数与差，求较大数）

　　（3）技术革新后，平均每月生产多少部？

　　3150÷9=350（部）（工作总量÷时间=工作效率）

　　答：技术革新后，平均每月生产350部。

　　这道复合应用题，也是由三个简单应用题组合而成的。这三个简单应用题是：

　　（1）求几个相同加数的和的乘法题。

　　（2）求比一个数多几的数的加法题。

　　（3）把一个数平均分成几份，求一份是多少的除法题。

　　通过以上两例，可以看出，解答复合应用题的过程中是分解成几个简单应用题来解的。这些简单应用题，在实际生活中是经常遇到的，确实是组成复合应用题的因素。也可以把简单应用题看做是基本概念题。因此，学生对于简单应用题应熟练掌握。

134.常说“学会解答两步的应用题是解答多步应用题的关键”，这是怎么一回事呢？

　　两步应用题，它的结构是给出一个直接条件，一个间接条件，还有一个与条件有关的问题。因为其中有一个间接条件，因此，分析时比解答一步应用题要难得多。同一步应用题相比，不仅仅是在解答层次上多了一步，事实上，它同一步应用题隔着一级高高的台阶，要跨大步才能迈得上去。

　　学习解答两步应用题是解答复合应用题的开始，是由一步应用题过渡到三步、四步等较复杂的应用题的桥梁，是非常关键的一个阶段。正如老师们所说的：一步应用题是基础，两步应用题是关键。

　　教学两步应用题，应注意以下两点：

　　（1）使学生认识两步应用题的结构

　　由一步应用题向两步应用题过渡时应使学生弄清楚什么是“间接条件”，间接条件与直接条件的关系，间接条件与问题之间的关系，从而理解两步应用题的结构。

　　例如，一步应用题是：大牛20头，小牛5头，大牛、小牛共有多少头？

　　根据这个题目，教师可以进行启发引导：这道题的两个条件，如果“小牛5头”这个条件不直接给出来，而根据“大牛20头”的关系给出来，应该怎样改编一下这道题呢？

　　学生的思想很活跃，举手争先发言。

　　学生甲：大牛20头，小牛比大牛少15头，大牛、小牛共有多少头？

　　20+（20-15）=25（头）

　　学生乙：大牛20头，大牛比小牛多15头，大牛、小牛共有多少头？

　　20+（20-15）=25（头）

　　学生丙：大牛20头，大牛的头数是小牛的4倍，大牛、小牛共有多少头？

　　20+20÷4=25（头）

　　学生丁：大牛20头，小牛的头数是大牛的四分之一，大牛、小牛共有多少头？

　　20+20÷4=25（头）

　　学生改编的条件都正确。这是在原来的一步应用题的基础上不受任何限制地改编其中的一个条件。不难看出，学生对于两步应用题的结构有了初步的认识。

　　间接条件（也叫隐蔽的条件），是构成两步应用题的重要因素，学会找出间接条件是解答两步应用题的重要一环。

　　（2）根据问题找条件，锻炼学生分析问题的能力。

　　一般情况下，凡遇到“求剩下多少”的时候，必然要找出“原有多少”和“用去多少”，也就是要找出被减数和减数。凡遇到“求平均每小组多少人”的时候，必然要找出“共有多少人”和“分为几个小组”，也就是要找出被除数和除数。这种训练，实际上是培养学生用分析法解答应用题的思路训练。

　　上课时，可以提出一些问题，让学生答出需要的条件。例如：（1）应该找回多少钱？（需要答出：总价是多少，一共给了多少钱？这是一个减法题）

　　（2）两条水渠共长多少米？（需要答出：第一条水渠长多少米？第二条水渠长多少米？这是一个加法题）

　　（3）实际上比原计划提前几天完成？（需要答出：原计划多少天完成？实际上用了多少天？这是一个减法题）

　　（4）平均每个班能借多少本书？（需要答出：共有书多少本？共有几个班？这是一个除法题）

　　这样的训练很重要。可以使学生认识到：特定的问题，必定具备与之相应的条件。提出的条件，可以是直接的，当然也可以是间接的。

　　如果看到所求的问题就能联想到相应的条件，这样训练的目的是为了提高学生分析数量关系的能力。也可以说是培养学生解题能力的一环。

135.怎样解答算术平均数问题？

　　在日常生活中经常需要求“算术平均数”的问题。例如，小麦专业队承包的小麦平均亩产量是318千克，可以看出产量的高低；松林仓小学已统计出三年级学生的身高平均为142厘米，体重平均37.2千克，可以说明学生体质的状况。又如：四年级学生期末考试，数学平均87.4分，语文平均84.5分，说明这个年级学生的学习成绩较好。总之，计算出平均数来，可以说明产量的高低，身体发育的好坏，学习成绩的优劣等。可见，掌握求平均数的方法是非常必要的。

　　求算术平均数的时候，必须具备两个条件：①被均分事物的总量，②要分的总份数。计算时，总量除以相应的总份数，得出“算术平均数”。反之，平均数乘以总份数，得出总量。

　　总数量÷总份数=算术平均数

　　例1：四年级体育小组的学生测量身高，其中3个学生的身高都是146厘米，两个学生的身高都是145厘米，有一个学生身高149厘米，还有一个学生身高152厘米，求这个小组学生的平均身高是多少厘米？

　　分析：为了求出这个小组学生的平均身高是多少厘米，应该先求出这个小组学生身高的总厘米数及这个小组学生的总人数。总厘米数除以总人数得出平均身高的厘米数。

　　计算：

　　（146×3+145×2+149+152）÷（3+2+1+1）

　　=（438+290+149+152）÷7

　　=1029÷7=147（厘米）

　　答：这个小组学生的平均身高是147厘米。

　　例2：农业科学试验小组有两块小麦试验田，一块田是22亩，平均亩产小麦452千克，另一块田是18亩，平均亩产小麦372千克。求这两块试验田平均亩产小麦多少千克？

　　分析：为了求出这两块试验田的平均亩产量，应该先求出两块试验田共产小麦多少千克

　　计算：

　　（452×22＋372×18）÷（22+18）

　　=（9944＋6696）÷40

　　＝16640÷40

　　=416（千克）

　　答：平均亩产416千克。

　　注意：求这两块试验田的平均亩产量时，一定要先求出这两块试验田小麦的总产量及这两块田的总亩数。假如把这两块试验田的各自的平均亩产量加在一起，然后除以2，这样计算行不行呢？不行。因为这两块试验田的亩数不一样，一块是22亩，另一块是18亩，不能一对一地相加。真要是这样计算的话，那将得出错误的答案。即（452＋372）÷2=824÷2=412（千克）。

　　例3：甲、乙、丙三个学生各拿出同样多的钱合买同样规格的练习本。买来以后，甲和乙都比丙多要6本，于是，甲、乙分别给丙人民币0.72元。求每本练习本的价格是多少？

　　分析：既然是拿出同样多的钱就应该各自分得同样多的练习本。实际上呢，甲和乙都比丙多要6本，一共多要了（6×2=）12本。如果甲和乙都不多要，这12本也均分的话，平均每人应分得（12÷3=）4本。可见，甲应退给丙2本，乙也应退给丙2本就可以了。可是都没有退给练习本，而是甲、乙分别退给丙0.72元。可见，这0.72元是2本练习本的价钱。

　　计算：

　　0.72÷（6-6×2÷3）

　　=0.72÷（6-4）

　　=0.72÷2=0.36（元）

　　答：每本练习本的价格是0.36元。

136.怎样解答归一问题？

　　归一，指的是解题思路。一般情况下，在解答过程中常常是先找出“单一的量”，找出“单一的量”之后，以它为标准，再根据其他条件求出结果。所谓“单一的量”，是指单位时间的工作量，单位时间所走的路程，单位面积的产量，每辆车的载重量以及物品的单价等。

　　例1：7辆同样的大卡车运沙土，6趟共运走沙土336吨。现有沙土440吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？

　　分析：为了求出需要增加同样的卡车多少辆，可以先求出一共需要卡车多少辆。为了求出需要多少辆卡车，应该知道所运沙土的任务及每辆卡车的载重量。已知所运沙土的任务是440吨。因此，先要求出每辆卡车的载重量。

　　计算：

　　（1）1辆卡车1次能运沙土几吨？

　　336÷6÷7=56÷7=8（吨）

　　（2）需要增加同样的卡车几辆？

　　440÷5÷8-7

　　=88÷8-7

　　=11-7=4（辆）

　　答：需要增加同样的卡车4辆。

　　例2：3台同样的拖拉机4小时耕地84亩，照这样计算，5台拖拉机7小时能耕地多少亩？

　　计算：

　　84÷3÷4×5×7

　　=7×5×7

　　=245（亩）

　　答：5台拖拉机7小时耕地245亩。

　　例3：100千克花生可以榨油36千克，现在有花生7500千克，可以榨油多少千克？

　　分析：这道题也可以用“归一法”解答。但是1千克花生能榨油0.36千克，当小学生还没有学到“小数”、“分数”的时候，可以更换一种思路--倍比法，来解这类的题目。也就是先求出7500千克相当于100千克的多少倍。

　　计算：

　　36×（7500÷100）

　　=36×75……7500千克是100千克的75倍。

　　=2700（千克）

　　答：可以榨油2700千克。

137.怎样解答归总问题？

　　归总，指的是解题思路。一般情况下，在解答过程中，常常是先找出“总数量”。找出“总数量”之后，再根据其他条件，求出结果。所谓“总数量”，指的是总路程、总产量、工作总量以及物品的总价等等。

　　例1：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行48千米，5小时可以到达。如果要求4小时到达，每小时需要行多少千米？

　　分析：根据题意，从甲地到乙地的路程是一定的。先求出总路程，再根据其他条件，求出结果。

　　计算：

　　48×5÷4

　　=240÷4

　　=60（千米）

　　答：每小时需要行60千米。

　　例2：大松沟农场用播种机播种，每天每部播种35亩，原计划用3部播种机10天完成任务。为了加快进度，再增加2部播种机，可以比原计划提前几天完成？

　　分析：根据题意可知，这个农场播种的总任务是一定的。为了加快进度，增加播种机，在工作效率不变的情况下，一定可以提前完成任务。

　　计算：

　　10-[35×3×10÷（3＋2）÷35]

　　=10-[1050÷5÷35]

　　=10-6=4（天）

　　答：比原计划提前4天完成任务。

138.相遇问题与追及问题指的是什么？怎样解答这类问题？

　　行路方面的相遇问题，基本特征是两个运动的物体同时或不同时由两地出发相向而行，在途中相遇。基本关系如下：

　　相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）

　　总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

　　甲、乙速度的和-已知速度=另一个速度

　　相遇问题的题材可以是行路方面的，也可以是共同工作方面的。由于已知条件的不同，有些题目是求相遇需要的时间，有些题目是求两地之间的路程，还有些题目是求另一速度的。相应地，共同工作的问题，有的求完成任务需要的时间，有的求工作总量，还有的求另一个工作效率的。

　　追及问题主要研究同向追及问题。同向追及问题的特征是两131 个运动物体同时不同地（或同地不同时）出发作同向运动。在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度要慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。在日常生活中，落在后面的想追赶前面的情况，是经常遇到的。基本关系如下：

　　追及所需时间=前后相隔路程÷（快速-慢速）

　　有关同向追及问题，在行路方面有这种情况，相应地，在生产上也有这种情况。

　　例1：甲、乙两地相距710千米，货车和客车同时从两地相对开出，已知客车每小时行55千米，6小时后两车仍然相距20千米。求货车的速度？

　　分析：货车和客车同时从两地相对开出，6小时后两车仍然相距20千米，从710千米中减去20千米，就是两车6小时所行的路。又已知客车每小时行55千米，货车的速度即可求得。

　　计算：

　　（710-20）÷6-55

　　=690÷6-55

　　=115-55=60（千米）

　　答：货车时速为60千米。

　　例2：铁道工程队计划挖通全长200米的山洞，甲队从山的一侧平均每天掘进1.2米，乙队从山的另一侧平均每天掘进1.3米，两队同时开挖，需要多少天挖通这个山洞？

　　计算：

　　200÷（1.2+1.3）

　　=200÷2.5

　　=80（天）

　　答：需要80天挖通这个山洞。

　　例3：甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米。乙走了4分钟后，甲才开始走。甲要走多少分钟才能追上乙？

　　分析：“乙走了4分钟后，甲才开始走”，说明甲动身的时候，乙已经距学校（50×4=）200米了。甲每分钟比乙多走（60-50=）10米。这样，即可求出甲追上乙所需时间。

　　计算：

　　50×4÷（60-50）

　　=200÷10

　　=20（分钟）

　　答：甲要走20分钟才能追上乙。

　　例4：张、李二人分别从A、B两地同时相向而行，张每小时行5千米，李每小时行4千米，两人第一次相遇后继续向前走，当张走到B地，立即按原路原速度返回。李走到A地也立即按原路原速度返回。二人从开始走到第二次相遇时走了4小时。求A、B两地相距多少千米？

　　分析：先画出线段图。

　　从图中可以看到，张、李两人从开始走到第二次相遇，他们所走的路程之和，应是A、B两地距离的3倍。这一点是解答这道题的关键所在。

　　计算：

　　（5＋4）×4÷3

　　=9×4÷3

　　=36÷3=12（千米）

　　答：A，B两地相距12千米

139.植树问题有什么特点？解答时要注意些什么？

　　有关种树以及与种树相似的一类应用题叫做植树问题。植树问题通常有两种形式。一种是在不封闭的路线上植树，另一种是在封闭的路线上植树。经常遇到的数量有：总距离、间隔长及棵数。

　　如果在不封闭的路线上植树，并且首、尾都植的话，也就是两端都要栽1棵。其关系式如下：

　　①总距离÷间隔长+1=棵数

　　②间隔长×（棵数-1）=总距离

　　③总距离÷（棵数-1）=间隔长

　　每两棵树之间的间隔，也可以称作一段。间隔的长度称作间隔长。

　　如果按照周围栽树（沿着圆形水池或方形场地等），也就是在封闭的路线上植树，那么棵数与间隔数（段数）相等。

　　例1：龙泉大道全长1380米，计划在路的两旁每隔12米栽一棵树，两端都栽。共栽树多少棵？

　　分析：按照直线栽树时，一般是两端都栽，树的棵数比间隔数多1。如同自己的5个手指一样，5个手指，有4个间隔。

　　解答这道题时，可以先求出大道一旁所栽树的棵数，随之，即可求出两旁共栽树的棵数了。

　　计算：

　　（1380÷12＋1）×2

　　=（115+1）×2

　　=116×2=232（棵）

　　答：共栽树232棵。

　　例2：花园村小学举行秋季运动会，在圆形跑道的周围安排检查员。周长500米，每隔25米安排一名检查员。求应安排检查员多少名？

　　分析：已知运动场的跑道是圆形的，在周围安排检查员人数同段数相等。

　　计算：500÷25=20（名）

　　答：应安排检查员20名。

　　例3：河津路的一侧原有木质电线杆86根，每相邻的两根相距42米。现在计划全都换成大型水泥电线杆，每相邻的两根相距70米。求需要大型水泥电线杆多少根？

　　分析：为了求出需要大型水泥电线杆的根数，应该求出这条路的全长。已知这条路的一侧原有木质电线杆86根，每相邻的两根相距42米，根据这两个条件，可以求出这条街的全长。但是要注意，间隔数比电线杆的根数少1。

　　求出这条路的全长之后，再根据水泥电线杆每相邻的两根之间相距70米的条件，即可求出需要大型水泥电线杆的根数。

　　计算：

　　（1）这条路全长多少米？

　　42×（86-1）=3570（米）

　　（2）需要大型水泥电线杆多少根？

　　3570÷70+1=52（根）

　　答：需要大型水泥电线杆52根。

140.盈亏问题有什么特点？怎样分析这类问题？

　　盈是多余的意思，亏是不足的意思。平时在分物品时或者安排其他工作时，经常会遇到多余或是不足的情况，可以根据多余以及不足的数量引出解题的线索。这类应用题通常叫做盈亏问题。

　　例1：一个植树小组去栽树，如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗；如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗。求这个小组有多少人？一共有多少棵树苗？

　　分析：已知如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗，也就是说还有15棵树苗没有栽上，树苗余下了；又知如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗，这就是说，树苗不够了。按照第一种方案去栽，树苗余下了，若按照第二种方案去栽，树苗不足了。一个是余下一个是不足，这两个方案之间相差多少棵呢？相差（15＋9=）24棵，也就是说，如果按照第二种方案去栽的话，可以比第一种方案多栽24棵树。为什么能多栽24棵树呢？因为每个人多栽（5-3=）2棵。

　　由于每一个人多栽2棵树，一共多栽24棵树，即“2棵树”对应于“1个人”。这样，小组的人数可以求得。随之，树苗的棵数也可以求得。

　　计算：（1）小组的人数：

　　（15＋9）÷（5-3）

　　=24÷2

　　=12（人）

　　（2）树苗的棵数：

　　3×12+15=51（棵）

　　答：这个小组有12人，一共有51棵树苗。

　　在解题时，常常要找两个“差”。一个是总棵数之差，即第一种方案同第二种方案所栽树苗的总差数；另一个是单量之差，即每个人所栽树苗的差。有了这两个差即可求出结果。因此，这种解题的思路也可以称作“根据两个差求未知数”。

　　例2：悦悦每天早晨7点30分从家出发上学去，如果每分钟走45米，则迟到4分钟到校；如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校。求从家出发需要走多少分钟才能准时到校？悦悦的家离学校有多少米？

　　分析：已知如果悦悦每分钟走45米，则迟到4分钟，这就是说，按照规定到校的时刻来说，还距离学校有（45×4=）180米的路；又知如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校，这就是说，到校之后还可以多走出（75×4=）300米的路。这样，一个慢一个快，在同样时间之内，速度快要比速度慢多走出（180+300=）480米的路。又知每分钟多走（75-45=）30米。总之，由于每分钟多走30米，一共多走出480米；因此，从家到学校所需要的时间就可以求出来了，随之，悦悦的家距离学校的米数也可以求出来了。

　　计算：

　　（1）准时到校需要多少分钟？

　　（45×4+75×4）÷（75-45）

　　=480÷30

　　=16（分钟）

　　（2）悦悦家与学校距离多少米？

　　45×16+45×4

　　=720+180

　　=900（米）

　　答：准时到校需要16分钟，悦悦家离学校900米。

　　例3：晶晶读一本故事书，原计划若干天读完。如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完；如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完。求原计划多少天读完？这本书共有多少页？

　　分析：已知如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完，这就是说，如果继续读2天的话，还可以多读（11×2=）22页；又知如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完，这就是说，如果继续读4天的话，还可以多读（13×4=）52页。两种情况，虽然都可以多读，但是它们之间有差别。就是说，在一定的日期之内，第二种方法比第一种方法多读（52-22=）30页。为什么能多读30页呢？就是因为每天多读（13-11=）2页。由于每天多读2页，结果一共可以多读30页。这是多少天读的呢，问题不就解决了吗！

　　计算：（1）原计划多少天读完这本书？

　　（13×4-11×2）÷（13-11）

　　=（52-22）÷2

　　=30÷2=15（天）

　　（2）这本书共有多少页？

　　11×（15-2）

　　=11×13=143（页）

　　答：这本书共143页，原计划15天读完。

141.怎样解答和倍问题？

　　和倍问题是已知两个数量的和及它们之间的倍数关系，求这两个数量各是多少的应用题。解答的时候，要以其中的一个数量作为标准，也就是把它看作是一份的数，再根据已知的倍数关系，就可以知道另一个数量占几份。如果是整数倍关系，就把较小的数看作是一份的数为好。

　　例1：果园里有苹果树和梨树共360棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。求苹果树、梨树各多少棵？

　　分析：苹果树的棵数是梨树的3倍，如果把梨树的棵数看作1份，那么苹果树的棵数就是3份，两种树的棵数共是（1+3）份。又知两种树共360棵，这就可以先求出每1份的棵数，也就是梨树的棵数。然后求出苹果树的棵数。

　　计算：（1）梨树；360÷（1＋3）

　　=360÷4=90（棵）

　　（2）苹果树：90×3=270（棵）

　　答：苹果树270棵，梨树90棵。

　　例2：五年级两个班学生共种向日葵265棵，其中甲班种向日葵比乙班种的2倍还多25棵。求甲班、乙班各种多少棵？

　　分析：这道题比一般的“和倍问题”的条件有一些变化，即“甲班种的向日葵比乙班种的2倍还多25棵”。假如把这25棵暂时减去，则甲班种的向日葵就恰好是乙班的2倍。

　　计算：（1）乙班种了多少棵？

　　（265-25）÷（2+1）

　　=240÷3

　　=80（棵）

　　（2）甲班种了多少棵？

　　80×2+25=185（棵）

　　答：甲班种了185棵，乙班种了80棵。

　　例3：两箱茶叶共66千克，如果从甲箱取出9千克放入乙箱，则乙箱茶叶的重量是甲箱的2倍。求两箱原来各有茶叶多少千克？

　　分析：不管是从甲箱取出茶叶放入乙箱，还是从乙箱取出茶叶放入甲箱，总之，两箱茶叶的总重量是不变的，仍是66千克。这里可以运用假定的方法，假定已经从甲箱取出9千克放入乙箱了，我们可以把原来的题目说成是：两箱茶叶共66千克，乙箱茶叶的重量是甲箱的2倍，求甲、乙两箱茶叶各多少千克？然后，再求两箱原有茶叶各多少千克？

　　计算：（1）从甲箱取出9千克放入乙箱后，甲箱还有茶叶多少千克？

　　66÷（2+1）=22（千克）

　　（2）甲箱原有茶叶多少千克？

　　22＋9=31（千克）

　　（3）乙箱原有茶叶多少千克？

　　66—31=35（千克）

　　答：甲箱原有茶叶31千克，乙箱原有茶叶35千克。

　　解答和倍问题的关系式如下：

　　总和÷（倍数+1）=较小的数

　　较小的数×倍数=较大的数　或总和-较小的数=较大的数

142.怎样解答差倍问题？

　　差倍问题是已知两个数量的差及它们之间的倍数关系，求这两个数量各是多少的应用题。如果两个数量之间是整数倍关系，还是把较小的那个数量看作是一份为好。解答这类问题时，要注意两个数量的差相当于较小数的几倍。举例如下：

　　（1）如果甲数是乙数的3倍，那么甲、乙两数的差是乙数的（3-1）倍。

　　（2）如果甲数是乙数的5倍，那么甲、乙两数的差是乙数的（5-1）倍。

　　（3）如果甲数是乙数的10倍，那么甲、乙两数的差是乙数的（10-1）倍。

　　解答差倍问题的关系式如下：

　　两数之差÷（倍数-1）=较小的数

　　较小的数×倍数=较大的数

　　或较小的数+两数之差=较大的数

　　例1：六（1）班与六（2）班原有图书的本数一样多，后来，六（1）班又买来新书100本，六（2）班从本班原有书中取出180本送给三年级同学。这时，六（1）班的图书是六（2）班所剩图书的3倍。求两班原有图书各多少本？

　　分析：原来两个班的图书本数一样多，后来，六（1）班买进100本，六（2）班送出180本，这时，两个班相差280本。又知，这时六（1）班的图书是六（2）班所剩图书的3倍，则两班图书的相差数应是六（2）班所剩图书的（3—1）倍，这样，六（2）所剩图书的本数即可求得。随之，原有图书本数也可以求出来了。

　　计算：（1）六（2）班所剩图书多少本？

　　（180＋100）÷（3—1）

　　=280÷2=140（本）

　　（2）两个班原有图书各多少本？

　　140＋180=320（本）

　　答：两个班原有图书各320本。

　　例2：第一粮仓存的小麦比第二粮仓多96吨。后来，从两仓各运出小麦30吨，所余小麦第一仓恰是第二仓的3倍。两仓原来各存小麦多少吨？

　　分析：已知第一粮仓存的小麦比第二粮仓多96吨。又知从两仓各运出小麦30吨，因为运走的是相同的数量，所以，两仓原存小麦的差不变，仍是96吨。

　　运出相同数量的小麦之后，所余小麦第一仓是第二仓的3倍，那么，第一仓比第二仓所多的小麦应该是第二仓余下小麦的（3-1）倍。于是，第二仓余下的小麦吨数即可求得。再加上运出的30吨，就是第二仓原存小麦的吨数。

　　计算：（1）第二仓余下小麦多少吨？

　　96÷（3－1）=48（吨）

　　（2）第二仓原存小麦多少吨？

　　48+30=78（吨）

　　（3）第一仓原存小麦多少吨？

　　78+96=174（吨）

　　答：第一仓原存小麦174吨，第二仓原存小麦78吨。

　　例3：大水池里现在有水880立方米，小水池里现在有水200立方米。计划往两水池里注入同样多的水，使大水池的水量是小水池水量的3倍。求两水池各应注入多少立方米的水？

　　分析：已知“计划往两水池里注入同样多的水，使大水池的水量是小水池水量的3倍”，既然是注入同样多的水，那么原来两水池里的水量之差是不变的。我们可以运用“假定”的思想，假定已经注水完毕，大水池里的水量恰是小水池水量的3倍了，那么大水池比小水池所多的水应该是注水以后小水池水量的（3-1）倍。这样，就可以求出注水以后小水池里的水量了。随之，即可求出注入的水量。

　　计算：（1）注入水以后小水池的水量是多少？

　　（880-200）÷（3-1）

　　=680÷2

　　=340（立方米）

　　（2）注入的水量是多少？

　　340-200=140（立方米）

　　答：两水池各应注入140立方米的水。

143.怎样解答和差问题？

　　和差问题是已知两个数的和及它们的差求这两个数各是多少的应用题。解答的时候，可以把所求的某一个数做为标准。如果把较小的数做为标准，那么，从较大的数里减去两数的差，剩下的数就同较小的数相等。也就是从总和减去两个数的差，剩下的数恰好是较小数的2倍，问题可得到解答。如果把较大的数做为标准，那么，给较小的数加上两个数的差，它就同较大的数相等。也就是两数之和加上两个数的差，得出来的数恰好是较大数的2倍，问题可得到解答。

　　解答和差问题的关系式如下：

　　（和--差）÷2=较小的数

　　（和+差）÷2=较大的数

　　例1：把336分为两个数，使两个数的和是这两个数之差的7倍，求所分成的两个数各是多少？

　　分析：已知这两数的和是336，又知这336是两数之差的7倍，于是可以求出这个“差”来。根据两个数的和与差可以求出这两个数各是多少。

　　计算：（1）两数之差是多少？

　　336÷7＝48

　　（2）较小的数是多少？

　　（336-48）÷2=144

　　（3）较大的数是多少？

　　（336+48）÷2=192

　　或者， 336—144=192

　　或者， 144＋48=192

　　答：较小数是114，较大数是192。

　　例2：甲、乙两筐苹果共65千克。从甲筐里取出6千克放到乙筐里去，结果甲筐的苹果还比乙筐的苹果多3千克，求两筐原有苹果各多少千克？

　　分析：根据已知条件，使我们知道甲、乙两筐苹果的总重量没有变化，仍然是65千克。又知从甲筐取出6千克放到乙筐里去，如果这时两筐苹果相等的话，那么可以知道甲筐一定比乙筐多12千克。但是，仍未相等，甲筐还比乙筐多3千克，可知甲筐的苹果比乙筐的苹果多15千克。这样，我们知道了两个数的和与差，按照解答“和差问题”的思路可以求出两个数各是多少。

　　计算：（1）甲筐原有的苹果比乙筐多多少千克？

　　6×2＋3=15（千克）

　　（2）乙筐原有苹果多少千克？

　　（65--15）÷2=25（千克）

　　（3）甲筐原有苹果多少千克？

　　（65+15）÷2=40（千克）

　　答：乙筐原有苹果25千克，甲筐原有苹果40千克。

144.怎样解答连续数问题？

　　顺次差为1的几个整数叫连续数。如： 5， 6， 7， 8， 9， 10；顺次差为2的几个偶数叫连续偶数。如： 2，4， 6， 8， 10；顺次差为 2的几个奇数叫连续奇数。如：1，3，5，7，9。

　　在算术中，已知几个连续数的和，求这几个连续数各是多少的应用题叫做连续数问题。解答这类问题时，因为连续数顺次的差是1，若从连续数的第二个较大数起顺次加上1，2，3，…，则这几个数就都变成了最大的数，因此，总和加上1+2+3＋…（加数个数比

　　连续数的个数少1个），再用连续数的个数去除，就得到这几个连续数中最大的数；同理，总和减去（1＋2＋3＋…），再除以连续数的个数，就得到这几个连续数中最小的数。

　　例1：9个连续数的和是72，求各数。

　　计算：[72＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）]÷9

　　=[72+36]÷9

　　＝108÷9

　　=12……最大的数

　　连续数的各数是： 4，5，6，7，8，9，10，11，12例2：6个连续偶数的和为126，求各偶数。

　　计算：[126-（2+4＋6＋8+10）]÷6

　　=[126-30]÷6

　　=96÷6

　　=16……最小的数

　　连续偶数的各数是：16，18，20，22，24，26。

145.顺流而下与逆流而上问题指的是什么？怎样解答这类问题？

　　顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。

　　船在静水中行驶，单位时间内所走的距离叫做划行速度或叫做划力；顺水行船的速度叫顺流速度；逆水行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠动力顺水而行，单位时间内走的距离叫做水流速度。各种速度的关系如下：

　　（1）划行速度+水流速度=顺流速度

　　（2）划行速度-水流速度=逆流速度

　　（3）（顺流速度+ 逆流速度）÷2=划行速度

　　（4）（顺流速度-逆流速度）÷2=水流速度

　　例1：两个码头相距144千米，一艘客轮顺水行完全程需要6小时，已知这条河的水流速为每小时3千米。求这艘客轮逆水行完全程需要几小时？

　　分析：流水问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。即：速度×时间=距离；距离÷速度=时间；距离÷时间=速度。但是，河水是流动的，这就有顺流、逆流的区别。在计算时，要把各种速度之间的关系弄清楚是非常必要的。这道题求的是逆行所需要的时间，如果能找出逆水行船的速度，问题可得到解决。

　　计算：（1）顺流每小时行多少千米？

　　144÷6=24（千米）

　　（2）逆流每小时行多少千米？

　　24-3-3=18（千米）

　　（3）逆水行完全程需要几小时？

　　144÷18= 8（小时）

　　答：逆水行完全程需要8小时。

　　例2：一条大河，主航道的水流速为每小时10千米，沿岸边的水流速为每小时6千米。一条船从兴塘码头出发，在主航道上顺流而下， 5小时行驶180千米。求这条船沿岸边返回原地，需要多少小时？

　　分析：沿岸边返回原地，指的是逆水上行，求需要行驶的时间。已知行驶的路程为180千米，只需求出逆流速度就可以了。

　　计算：（1）顺流速度：

　　180÷5=36（千米）

　　（2）沿岸边逆流速度：

　　36-10-6=20（千米）

　　（3）沿岸边返回原地所需时间：

　　180÷20=9（小时）

　　答：沿岸边返回原地需要9小时。

　　例3：甲、乙两个码头相距270千米，一艘货轮从乙码头逆水而上，行驶18小时到达甲码头。又知这艘货轮在静水中每小时能行驶21千米。求这艘货轮从甲码头顺流驶回乙码头需要多少小时？（假定装载货物的重量来去相同）

　　分析：求的顺流行完全程需要的时间，而全程为270千米，只要求出顺流速度就可以了。根据已知条件可以求出逆流速度，还可以求出水流速度，于是，顺流速度即可求出。

　　计算：（1）这艘货轮逆水行驶的速度：

　　270÷18=15（千米）

　　（2）这条河的水流速度：

　　21-15=6（千米）

　　（3）顺水行驶的速度：

　　21＋6=27（千米）

　　（4）顺流驶回乙码头所需时间：

　　270÷27=10（小时）

　　答：顺流驶回乙码头需要10小时。

146.列车过桥与通过隧道问题指的是什么？怎样解答这类问题？

　　列车过桥与通过隧道问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。但是，这类应用题有它自身的特点，计算时要注意到列车车身的长度。

　　例1：一列客车全长224米，每秒行驶24米，要经过长880米的大桥，求全车通过这座大桥需要多少秒钟？

　　分析：所谓“全车通过这座大桥”，指的是从车头上桥算起到车尾离桥为止。这样说来，应把桥长加上车身长作为全距离。解答时，为了便于理解，可以把车尾作为标准点，从这个标准点开始算起，到这个标准点高桥为止，这是全车通过这座桥所行驶路程的全长。

　　计算：（880＋224）÷24

　　=1104÷24

　　=46（秒）

　　答：全车通过大桥需要46秒钟。

　　例2：一列货车全长280米，每秒钟行驶20米，全车通过一条隧道需要57秒钟。求这条隧道长多少米？

　　分析：已知这列货车每秒钟行驶20米，全车通过一条隧道需要57秒钟。知道了行驶速度及行驶的时间，就可以求出行驶的路程。但是，这个路程的长度包含着隧道长与车身长。

　　计算：（1）这列货车57秒钟行驶了多少米？

　　20×57=1140（米）

　　（2）这条隧道长多少米？

　　1140—280=860（米）

　　答：这条隧道长860米。

　　例3：一列客车通过616米长的大桥需要38秒钟，用同样速度穿过910米长的隧道需要52秒钟。求这列客车的速度及车身的长度各多少米？

　　分析：已知这列客车通过大桥用了38秒钟，这38秒钟行驶的距离是桥长加上车身长；又知这列客车用同样速度穿过隧道用了52秒钟，这52秒钟行驶的距离是隧道长加上车身长。把这两组条件列出来，便于引出解答的线索。

　　大桥616米+车身长----用38秒

　　隧道910米+车身长---用52秒

　　通过列出来的两组条件，可以看出所用的时间相差（52-38=）14秒，所行驶的路程相差（910-616=）294米，这就是说，这列客车用14秒钟行驶了294米。这列客车的速度可以求出来了。随之，车身的长度也可以求得。

　　计算：（1）这列客车每秒能行驶多少米？

　　（910-616）÷（52-38）

　　=294÷14=21（米）

　　（2）这列客车的车身长多少米？

　　21×38-616

　　=798-616=182（米）

　　答：这列客车每秒能行驶21米，车身长182米。

147.逆运算问题有什么特点？怎样解答这类问题？

　　逆运算问题是根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算。解答这类问题的要点在于“还原”，在计算过程中常采用相反的运算，也就是：原题加了的，逆推时应为减；原题减了的，逆推时应为加；原题乘了的，逆推时应为除；原题除了的，逆推时应为乘。这种解题的方法通常叫做“逆推法”，有关这类的应用题通常叫做“逆运算问题”，也有叫做“还原问题”的。

　　例1：一个小学生把“一个数除以3.7”的题，误算为除以7.3，结果得出18.5，求这个题的正确得数应是多少？

　　分析：已知这个小学生把原数误除以7.3，结果得出18.5，根据这个条件，可以把原数求出来，求出原数之后，再除以3.7，得出正确的结果。

　　计算：（1）原来的那个数是多少？

　　18.5×7.3=135.05

　　（2）正确得数应是多少？

　　135.05÷3.7＝36.5

　　答：正确的得数应该是36.5。

　　例2：一位农民到农贸市场卖鸡蛋。第一次卖出他的全部鸡蛋的一半零8个，第二次卖出余下鸡蛋的一半零9个，第三次卖出再余下的一半零10个，恰好卖完。求这位农民带来鸡蛋多少个？

　　分析：解答这道题，我们采用逆推的思考方法。

　　“卖出一半零10个，恰好卖完”的含义是什么？不管什么物品，卖出去一半，自然还剩一半，这里说的是“卖出一半零10个”，“零10个”是属于另一半里边的，又说“恰好卖完”，这就是说另一半就是10个。

　　计算：（1）第二次卖完之后剩下多少个鸡蛋？

　　10×2=20（个）

　　（2）第一次卖完之后剩下多少个鸡蛋？

　　（20＋9）×2=58（个）

　　（3）原有多少个鸡蛋？

　　（58＋8）×2=132（个）

　　答：这位农民带来132个鸡蛋。

148.怎样运用比较法分析应用题？

　　比较法是分析应用题的一种思考方法。解答时的思想要点是：把已知条件进行比较，发现其中的差别，找到解题的途径。通常把这种解题的方法叫做比较法。

　　例1：学校第一次买来15个凳子与6把椅子共付318元；第二次买来同样的凳子8个与同样的椅子6把共付234元。求凳子与椅子的单价。

　　分析：摆出条件，进行比较：

　　（第一次） 15个凳子 6把椅子共 318元

　　（第二次） 8个凳子 6把椅子共 234元

　　比较两次购物的情况，可以看出，第二次比第一次少买7个凳子，少付出（318-234=）84元。由此可以求出凳子的单价，随之，椅子的单价也可求得。

　　计算：（1）凳子的单价：

　　（318-234）÷（15-8）

　　＝84÷7=12（元）

　　（2）椅子的单价：

　　（234－12×8）÷6

　　＝138÷6＝23（元）

　　答：凳子的单价12元，椅子的单价23元。

　　例2：学校食堂，第一次买来大米30千克及豆油8千克总价57.8元；第二次买来同样的大米25千克及豆油4千克总价35.9元。求大米、豆油每千克各多少元？

　　分析：摆出条件，进行比较：

　　（第一次）大米30千克+豆油8千克---57.8元

　　（第二次）大米25千克+豆油4千克----35.9元

　　由于两次所买的大米数量不同，所买的豆油数量也不同。应设法使某一种物品的数量相同，这样便于比较。

　　把第二次所购物品及所付钱数乘以2，使两次所购的豆油数量相同，然后进行比较。

　　（第一次）大米30千克+豆油8千克----57.8元

　　（第二次）大米50千克+豆油8千克----71.8元

　　计算：（1）大米每千克多少元？

　　（71.8-57.8）÷（50-30）

　　=14÷20=0.7（元）

　　（2）豆油每千克多少元？

　　（57.8-0.7×30）÷8

　　=（57.8-21）÷8=4.6（元）

　　答：大米每千克0.7元，豆油每千克4.6元。

149.怎样从不同的角度和不同的侧面去分析应用题的数量关系？

　　有些应用题，如果按照原来题意进行分析，有时会感到数量关系复杂、抽象，解答起来比较困难。假如改变一种方式进行思考的话，就可以转变为另一种数量关系形式。或者改变思考的角度，转化成另外一种问题，也就是通常所说的转化的思考方法。

　　改变思考角度的方法是一种思路灵活的思考方法。掌握了这种思考方法，就可以用多种方法解答同一问题，就能从不同的角度和不同的侧面去分析应用题中的数量关系，这对理解数量关系和提高思维能力都是有益的。

　　例1：加工一批零件，如果每小时加工35个，可比原计划时间提前1小时完成；如果每小时加工42个，可比原计划时间提前4小时完成。求这批零件共有多少个？

　　思考方法一：前者提前一小时完成，后者提前4小时完成，后者比前者提前（4-1）小时完成。也就是说，当后者完成任务时，前者还要工作3小时才能完成任务。这3小时能做多少个零件呢？能做（35×3=）105个。也可以说，在相同时间内，快者比慢者能够多做出105个零件。又知快者比慢者每小时多做（42－35=）7个，那么，多少小时多做出105个呢？时间求出来了，这批零件的总数即可求得。

　　计算：（1）在相同时间内快者比慢者多做多少个？

　　35×3=105（个）

　　（2）快者完成任务的时间是几小时？

　　105÷（42-35）=15（小时）

　　（3）这批零件共多少个？

　　42×15=630（个）

　　答：这批零件共630个。

　　思考方法二：我们可以从比的角度进行分析。因为前后两种工作效率的比为35∶42=5∶6，那么加工同样个数的零件所需时间的比为6∶5。也就是说，若前者用的时间为6份，那么，后者所用的时间为5份。前者用的时间比后者多1份。根据已知，这1份就是3小时，可见，前者用的时间为18小时，后者用的时间为15小时。求出了工作时间，又知道工作效率，即可求出工作总量。

　　计算：（1）慢者完成任务所需的时间是几小时？

　　（4-1）÷（6-5）×6=18（小时）

　　（2）这批零件共多少个？

　　35×18=630（个）

　　答：这批零件共630个。

　　思考方法三：我们还可以再换一个角度进行分析。每小时加工零件

　　小时，又知，加工同样个数的零件，慢者比快者共多用3小时，这就可以求出加工零件的总数。

　　计算：（1）加工每个零件的时间慢者比快者要多用几小时？

　　（2）这批零件共多少个？

　　答：这批零件共630个。

　　采用不同角度，对数量关系进行分析，可以开阔解题思路。从以上几种解法可以看出，改变思考角度的方法，是解答应用题的重要思维方法。也是重要的解题思路。

　　例2：甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经3小时相遇，相遇后各自仍继续前行，又经2小时，甲车到达B地，乙车离A地还有75千米。求A、B两地间相距多少千米？

　　思考方法一：从图中可以看出，甲车2小时走的路，乙车3小时走完，那么甲车1小时走的路，乙车1.5小时走完。于是，甲车3小时走的路，乙车要4.5小时走完。相遇后，甲车又行2小时到达B地，当甲车到达B地时，乙车距A地还有75千米，这75千米，乙车还要走2.5小时。乙车的时速可以求出，于是，A、B两地间的距离即可求得。

　　计算：（1）乙车每小时能行驶多少千米？

　　75÷（1.5×3-2）

　　=75÷2.5=30（千米）

　　（2） A、B两地间的距离是多少千米？

　　30×（3＋4.5）

　　=30×7.5=225（千米）

　　答：A、B两地间相距225千米。

　　思考方法二：从比的角度进行分析，相遇后，甲用2小时走完了乙用3小时走的路，可知，甲、乙时速的比为3∶2，也就是乙的速度相当于甲的 是75千米，于是，全路程即可求得。

　　计算：（1）甲乙两车速度的比为3∶2。

　　 　

　　（3） A、B两地间的距离：

　　

　　答：A、B两地间相距225千米。

　　思考方法三：已知甲乙两车3小时相遇。可见甲乙两车每小时行完全程

　　

　　

　　 米，全程即可求得。

　　计算：（1）乙车每小时行驶全程的几分之几？

　　（2）乙车5小时行驶全程的几分之几？

　　（3） A、B两地间的距离是多少千米？

　　答：A、B两地间相距225千米。

150.怎样运用矩形图示法解答应用题？

　　矩形图示法是应用矩形图表示题目的已知和所求，是帮助我们寻找解题线索的好办法。根据题意画出矩形，可以用矩形的长表示一种量，用矩形的宽表示另一种量，矩形的面积表示这两种量的积。通过矩形图可以把抽象的数量关系变得具体形象，便于寻找解题线索。

　　例1：园园买回0.36元一本和0.28元一本的两种练习本共20本，共用去6.32元。求买回来的两种练习本各多少本？

　　分析：对于这道题可以用假定的方法进行解答。这里，我们运用矩形图示法分析这道题。

　　先画出矩形图，把矩形的长作为练习本的总数，宽作为练习本的单价（作为价钱贵的练习本的单价）。这个图的长表示20本，宽表示每本的单价0.36元；而0.28元可以用宽的一部分表示，0.08元是0.36元与0.28元的差。然后观察图形进行分析：假如这20本练习本都是0.36元一本的，那么总值应该用整个矩形面积表示，而实际的总钱数为6.32元，即矩形面积中的阴影部分。空白部分呢，是假定的总钱数与实际的总钱数的差。利用这个差以及两种练习本的单价之差，就可以求出单价0.28元的练习本的本数。随之，0.36元的练习本的本数也可以求出。

　　计算：（1）假定这20本练习本都是0.36元一本的，总值应是多少元？

　　0.36×20=7.2（元）

　　（2）比实际的总钱数多多少钱？

　　7.2--6.32=0.88（元）

　　（3）每本练习本相差多少钱？

　　0.36-0.28=0.08（元）

　　（4）每本0.28元的练习本多少本？

　　0.88÷0.08=11（本）

　　（5）每本0.36元的练习本多少本？

　　20-11=9（本）

　　例2：第一建筑工程公司建造甲、乙、丙三种不同规格的住房30单元，乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。出租时，甲种每单元每月收租金20元，乙种每单元每月收租金16元，丙种每单元每月收租金11元。这三种住房每月租金总数为481元。求三种住房各多少单元？

　　分析：这道题，可以用假定的方法进行解答，也可以运用矩形图示法解答。

　　先画出矩形图。把矩形的长作为住房的单元数，矩形的宽作为每单元每月的租金数。注意乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。把租金总数用颜色笔描出，然后观察图形，进行分析。

　　假如这30个单元都是甲种住房的话，那么每月房租总数应该用整个矩形面积表示，而实际每月租金总数为481元，即矩形面积中的阴影部分。空白部分是假定的租金总数与实际租金总数的差，利用这个差以及各种单元房之间租金数的差，就可以求出各种住房的单元数。

　　计算：（1）假定30单元都是甲种住房，每月租金总数应是多少元？

　　20×30=600（元）

　　（2）实际租金总数比600元少多少元？

　　600-481＝119（元）

　　（3）丙种住房有多少单元？　

119÷[（20-16）×2+（20-11）]

　　＝119÷[8+9]

　　=7（单元）

　　（4）乙种住房有多少单元？

　　7×2=14（单元）

　　（5）甲种住房有多少单元？

　　30-7-14=9（单元）

　　答：甲、乙、丙三种住房分别为9单元、14单元及7单元。

151.怎样进行一题多编？

　　采用一题多编的办法，要目的明确，要有针对性，有计划有安排，不能为了多编而多编。下面举例说明。

　　（1）为了锻练逆思考的能力，我们可以把顺解的题目改编成逆思考的题目。

　　例1：三年级学生要栽40棵树，已经栽了25棵，还要栽多少棵？

　　这是顺解的题目。列式：

　　40-25=15（棵）

　　例2：三年级学生已经栽了25棵树，还要栽多少棵，就够40棵了？

　　遇到这个题，常常会这样想：25棵加上多少棵等于40棵呢？然后，反过来想：从40棵里去掉25棵就是所求的数了。这是逆思考题目。列式：

　　40-25=15（棵）

　　例3：三年级学生栽了25棵树，加上四年级学生栽的，一共是40棵。求四年级学生栽了多少棵？

　　这道题是已知两个数的和及其中一个加数求另一个加数的运算，是逆思考的题目。列式仍然是：

　　40-25=15（棵）。

　　（2）为了弄清数量之间的关系，进一步理解某些数学概念，提高解题能力而编的一组题目。

　　例1：六（1）班有男生24人，女生比男生少4人，女生有多少人？

　　这道题知道了较大数，又知道较小数比较大数所少的数，求较小数，用减法计算。列式：24-4＝20（人）

　　例2：六（1）班有男生24人，比女生多4人。女生有多少人？

　　这道题仍然是已知较大数，求的是较小数，应该用减法计算。列式：24-4=20（人）

　　但是这道题里有“比……多”这样的话，容易使我们想到加法。这就需要我们把数量关系弄清楚，特别要弄清“谁比谁多”。不要受个别词语的影响。

　　例3：六（1）班有女生20人，男生比女生多4人，男生有多少人？

　　这道题知道了较小数，又知道较大数比较小数所多的数，求较大数，用加法计算。列式：

　　20＋4=24（人）

　　例4：六（1）班有女生20人，比男生少4人，男生有多少人？

　　这道题仍然是已知较小数，求较大数，应该用加法计算。列式：

　　20＋4=24（人）

　　但是这道题里有“比……少”这样的话，容易使我们想到减法。一定要弄清楚“谁比谁少”，说的是较小数比较大数所少的数，而求的是较大数，当然要用加法计算。

　　（3）为了把零散知识串起来，使知识系统化。下面举出一组分数乘、除法应用题的例子，可以使学生形成认知结构，并且进一步认识“部分与整体”之间的关系，提高解题能力。

　　例1：计划修一条20千米长的路，已经修了15千米，完成了百分之几？

　　例2：计划修一条20千米长的路，已经修了75％，修了多少千米？

　　20×75％=15（千米）

　　例3：计划修一条路，已经修了15千米，恰是全长的75％。这条路全长多少千米？

　　15÷75％=20（千米）

　　例4：计划修一条20千米长的路，已经修了75％，还剩多少千米没有修？

　　20×（1-75％）=5（千米）

　　例5：计划修一条路，已经修了75％，还剩5千米没有修，求这条路全长多少千米？

　　5÷（1-75％）=20（千米）

152.对于一道题，你能从不同的角度，寻求不同的解法吗？

　　有些应用题，可以从不同的角度去分析，采用不同的解答方法，这样练习，可以提高我们解题的能力，还能激发我们学习数学的兴趣。下面试举几例。

　　例1：工人王师傅改造了工具，缩短了制造某种零件的时间，过去制做一个零件要用20分钟，现在只用8分钟。过去每天能制做24个零件，现在每天能制做多少个？（过去和现在每天的工作时间相同）

　　解法一：

　　所求的是现在每天能制做多少个零件，应该知道每天工作时间有多长及制做一个零件所需的时间。现在制做一个零件的时间只需8分钟，这是已知的。于是，再求出每天工作的时间就可以了。根据过去制做零件的情况可以知道：制做一个零件用20分钟，每天能制24个。

　　计算：（1）每天工作的时间：

　　20×24=480（分钟）

　　（2）现在每天能制做零件的个数：

　　480÷8=60（个）

　　答：现在每天能制做零件60个。

　　解法二：

　　过去制做一个零件要20分钟，而现在只需8分钟，过去制做一个零件的时间，现在可以做（20÷8=）2.5个，过去1天能制做24个，现在1天能制做零件的个数即可求得。

　　计算：（1）过去制做一个零件的时间，现在可以制做几个？

　　20÷8=2.5（个）

　　（2）现在每天能制做多少个？

　　2.5×24=60（个）

　　答：（同上）。

　　解法三：

　　从生产效率方面来考虑，过去制做1个零件需要20分钟，那么每分钟能制做（1÷20=）0.05个；现在制做1个零件只需8分钟，那么每分钟能制做（1÷8=）0.125个。过去1天能制做24个零件需要多少时间，需要（24÷0.05＝）480分钟；现在，在这480分钟之内，可以制做的零件数，就是所求。

　　计算：（1）过去，每分钟能制做多少个零件？

　　1÷20=0.05（个）

　　（2）现在，每分钟能制做多少个零件？

　　1÷8=0.125（个）

　　（3）过去，每天制做24个零件，需要多少分钟？

　　24÷0.05=480（分钟）

　　（4）现在，每天工作480分钟，可以制做多少个？

　　0.125×480=60（个）

　　答：（同上）。

　　解法四：

　　求出过去每天制做24个零件需要480分钟之后，再求出480分钟包含多少个8分钟，所得的数即所求。

　　计算：（1）过去，每分钟能制做多少个零件？

　　1÷20=0.05（个）

　　（2）过去，每天制做24个零件，需要多少分钟？

　　24÷0.05=480（分钟）

　　（3）现在，每天工作480分钟，可以制做多少个？

　　480÷8＝60（个）

　　例2：一列快车和一列慢车，同时从南北两站相对开出，3小时后，两车共行的路程与剩下的路程的比是3∶2。已知快车每小时行60千米，慢车每小时行48千米。求南北两站相距多少千米？

　　解法一：

　　分析：已经知道了快车的时速和慢车的时速，还知道了行驶的时间，这样，两车共行的路程可求得。再根据3与2之比，又可以求出剩下的路程。于是，全路程的千米数也可以求出来了。

　　计算：（1）3小时，两车共行多少千米。

　　（60+48）×3=324（千米）

　　（2）剩下的路程是多少千米？

　　324÷3×2=216（千米）

　　（3）南北两站相距多少千米？

　　324+216=540（千米）

　　答：南北两站相距540千米。

　　解法二：

　　分析：用比例方法解。已知两车共行的路程与剩下的路程的比是3∶2，可求出两车共行的路程与全程的比是3∶（3+2），根据这样的比，可以求出全程的千米数。

　　计算：（1） 3小时，两车共行多少千米？

　　（60＋48）×3=324（千米）

　　（2）两车共行的路程与全路程的比。

　　3∶（3＋2）=3∶5

　　（3）南北两站相距多少千米？

　3∶5=324∶x

　　　　　　x=540……全程千米数。

　　答：（同上）。

　　解法三：

　　分析：既然两车共行的路程与剩下的路程的比是3∶2，那么剩下的路程还可以行几小时呢？用比例方法可以求出。这样，行完全程用的时间也可以求出来了。

　　计算：（1）剩下的路程还可以行几小时？

　　3∶2=3（小时）∶x

　　x=2（小时）

　　（2）两车行完全程用几小时？

　　3＋2=5（小时）

　　（3）南北两站相距多少千米？

　　（60＋48）×5=108×5=540（千米）

　　答：（同上）

　　例3：制鞋厂的两个车间，共同生产一批旅游鞋。甲车间每天能生产这

务，

求甲车间每天生产多少双？

　　解法一：

　　游鞋的总数可以求出。随之，甲车间每天生产多少双也可以求出来了。

　　计算：

　　（1）甲车间12天生产这批任务的几分之几？

　　（2）乙车间12天生产多少双？

　　45×12=540（双）

　　（3）这批鞋的任务共是多少双？

　　（4）甲车间每天生产多少双？

　　答：甲车间每天生产30双。

　　解法二：

　　分析：已知甲乙两车间共同生产12天完成了任务，那么平均每天完成这

任务

的几分之几可以求得。问题得到解答了。

　　计算：

　　（1）乙车间每天完成这批任务的几分之几？

　　（2）这批任务是多少？

　

　　（3）甲车间每天能生产多少双？

　　答：（同上）。

　　解法三：

　　分析：先求出乙车间每天的工作量相当于这批任务的几分之几

　　 　

　　

　　计算：

　　（1）乙车间每天完成这批任务的几分之几？

　　（2）甲车间每天的工作量相当于乙车间每天工作量的几分之几？

　　（3）甲车间每天生产多少双？

　　答：（同上）。