小学数学问答手册(五、分数和百分数)

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所属分类:小学数学知识

五、分数和百分数

185.为什么在分数的教与学中,单位“1”是一个重要概念?

  单位“1”也称做整体“1”,在分数的教与学中,正确理解单位“1”是正确理解什么是分数的前提。教材中对分数的定义是这样阐述的:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。由此可见,不理解单位“1”,就不理解如何平均分份;更不理解几分之一或几分之几,因此,单位“1”是分数中最基本也是最重要的一个概念。

  单位“1”一般情况下,表示一个事物的整体。如:世界的人口数,一个国家的面积,一个县播种小麦的亩数,一段路程,一个果园果树的棵数,一个工厂产品的总产量,一堆煤的重量等,都可以作为单位“1”,也就是把整体看作“1”。

  但是,整体与部分是相对的,它们之间在一定条件下也是可以相互转化的。当部分转化为整体时,单位“1”也可以表示原来的这个部分。如世界人口是50亿,是个整体,中国人口是11亿,只是它的一部分,当说到北京市人口占全国人口的一百分之一时,中国人口数又成为整体,当说到某区人口是全市人口的十分之一时,全市人口又成了整体等。在这些不同情况下,部分转化为整体时,都可以用单位“1”来表示。

  例如:

  (1)我国土地面积约960万平方千米;

  (2)某县的土地面积约8万平方千米;

  (3)红星小学全校有学生900人;

  (4)五一班有学生42人;

  (5)第二学习小组有学生8人;

  (6)这条公路全长4800米;

  (7)一根电线全长8.5米;

  (8)一堆煤重3.2吨。

   ……

  单位“1”包含的数量可以很大,也可以很小。大到有限数的任何事物,都可以看作单位“1”;小到可分事物的某一部分,也可以看作单位“1”。但是,无限多的事物不能看作单位“1”,因为无限多的事物是不可分的。

  在分数应用题中,单位“1”又是解题的关键。如:

_OLE4820

  解这道题,要求没修的是多少米,必须知道全长多少米和修了多少米。题目中全长480米已知,未知条件是修了多少米。要求修了多少米,根据题目中

_OLE4821

  如果换一种思路进行分析:要求没修的是多少米,必须先知道没修的米数是全长的几分之几,然后按求一个数的几分之几是多少的方法解答,关键的问

_OLE4822

_OLE4823

  综上所述,无论是在分数的基础知识中,还是在解答分数应用题的过程里,单位“1”都是处于前提和关键的位置。因此,单位“1”在分数的教与学中,是一个非常重要的概念。

186.什么是分数的基本计数单位?

  任何计量都要有单位,长度单位有:毫米、厘米、分米、米、千米等;而重量单位有:毫克、克、千克、吨等。具体到“数”,同样也是有单位的。自然数的计数单位是1,任何一个自然数都是若干个1组成的。

  例如:8是由八个1组成的;

  73是由七十三个1组成的。

  ……

  分数也有分数的计数单位,或称分数单位。根据分数的定义,把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数(几分之一)就是原来这个分数的分数单位。一个分数,它的分数单位是有个数的。

  如图:

  120_229

  _OLE4824

  _OLE4825

  _OLE4826

  分数单位是由单位“1”平均分成份数(分母)所决定的,所表示的份数(分子)是表示有几个的分数单位。

   _OLE4827

  由此可以说明,不同分母的分数,其分数单位也是不同的。如果分母用

_OLE4828

  所以,自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的,自然数的计数单位永远是1,这是不变的;而分数的计数单位则不是固定不变的,它是随着分数的分母不同而变化的。分母不同,分数单位也不同,分母是几,分数单位就是几分之一,分母越大,分数单位就越小;反之,分母越小,分数单位则越大。

  明确什么是分数单位和分数单位的大小,在学习分数大小比较、分数加、减法时,都是不可缺少的基础知识。

186.什么是分数的基本计数单位?

  任何计量都要有单位,长度单位有:毫米、厘米、分米、米、千米等;而重量单位有:毫克、克、千克、吨等。具体到“数”,同样也是有单位的。自然数的计数单位是1,任何一个自然数都是若干个1组成的。

  例如:8是由八个1组成的;

  73是由七十三个1组成的。

  ……

  分数也有分数的计数单位,或称分数单位。根据分数的定义,把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数(几分之一)就是原来这个分数的分数单位。一个分数,它的分数单位是有个数的。

  如图:

  120_229

  _OLE4824

  _OLE4825

  _OLE4826

  分数单位是由单位“1”平均分成份数(分母)所决定的,所表示的份数(分子)是表示有几个的分数单位。

   _OLE4827

  由此可以说明,不同分母的分数,其分数单位也是不同的。如果分母用

_OLE4828

  所以,自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的,自然数的计数单位永远是1,这是不变的;而分数的计数单位则不是固定不变的,它是随着分数的分母不同而变化的。分母不同,分数单位也不同,分母是几,分数单位就是几分之一,分母越大,分数单位就越小;反之,分母越小,分数单位则越大。

  明确什么是分数单位和分数单位的大小,在学习分数大小比较、分数加、减法时,都是不可缺少的基础知识。

187.分数和整数除法的关系是什么?

  在教材中,学生是在学习整数的基础上,先学习小数而后学习分数的。如果把小数划入十进分数的范围,那么分数是小学数学的第二个主要阶段,也是数的一次重要扩展。从整数到分数中间有着密切的联系,特点是分数基本概念的建立,都用到整数除法的知识。

  例如:在整数范围内,当两个自然数相除不能整除时,由于商无法表示,而不能计算,进入分数领域,这种情况将是不存在的。因为任何除法算式,都可以用分数来表示它们的商。即使在整数范围内,被除数小于除数这种无法计算的情况,用分数表示也不存在任何问题。

  分数与整数除法的关系,下图可以揭示:

120_230

  在分数中,分子相当于除法算式中的被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号,分数值相当于商。

  还应该看到,分数并不等于除法,两者还有着区别,这就是:分数是一种数,而除法是一种数与数之间的运算。

  在上述关系的基础上,分数和整数除法的联系,还表现在分数的基本性质上。分数的基本性质是:分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。这个基本性质来源于整数除法中商不变的性质,即:被除数与除数同时乘以或者除以相同的数(零除外),商不变。

  除此之外,根据分数与整数除法的关系,假分数可以化为带分数,分子(被除数)除以分母(除数),所得的商即为带分数的整数部分,余数为分子,原来的分母不变。

   _OLE4829

  将分数化为小数,或把繁分数化简,也都是依据分数与除法的关系。至于在分数中分母不能是零的道理,只要沟通分数与除法的关系,即:除法中除数不能是零,分数中分母自然不能是零。

  总之,在分数教与学中,只要在分数与除法间建立起自然的联系和迁移,温故而知新,许多属于算理的问题,都是比较容易得到解决的。

188.“_OLE4830就是一半”这句话对吗?

   _OLE4831

_OLE4832

  中的单位“1”不仅表示自然数的一个基本计数单位,也表示一切可分的事物。如:一堆苹果的个数、一个班的人数、一堆煤的吨数、一套丛书的册数、一本书的页数等,单位“1”既可表示整体,也可以表示整体的一部分。

   _OLE4833

_OLE4834

   _OLE4839 ,一半也就不知道是谁的一半了。按后者说法,其结果很容易引起误解,因

  _OLE4836  不是4个苹果,而是半个苹果。这与原来题意就相距太远了。

   _OLE4837

_OLE4838

  这句话是不严密的,也是不妥当的。

189.为什么有的分数能够化成有限小数,有的能够化成纯循环小数或混循环小数?

  把一个分数化成小数,有三种情况:即:有限小数、纯循环小数和混循环小数。至于什么样的分数化成什么样的小数,确有规律可循,这个规律可通过下面各样分数化小数的实例来观察:

_OLE4850

  从上面分数化小数的三种情况看,什么样的分数化什么样小数,关键不在分子,而在分母。因此,在分数化小数时,要观察分母的特点,其规律是:

  (1)分母只含有质因数2和5,这样的分数就可以化成有限小数。如 _OLE4841

 

  (2)分母里只含有2和5以外的质因数,这样的分数就可以化成纯循 _OLE4842

  (3)分母里既含有质因数2和5,又含有2和5以外的质因数,这样

_OLE4843

  有了上面这个规律,不需要通过计算,就能判断出一个最简分数能化成什么样的小数。

  例如:

   _OLE4844

_OLE4845

   _OLE4846

_OLE4847

   _OLE4848

_OLE4849

  掌握了分数化有限小数的规律,可以把常见分数化小数的数据汇集成表,并且能熟练地背诵下来,这对于提高互化的准确度和速度,都是非常有益的。

  常见的分数与有限小数互化表

_OLE4840

  对于分数化纯循环小数或混循环小数,按照上述规律,可以事前根据分数的分母特点,提早做出判断。

190.为什么分数不能化成无限不循环小数?

  在不同的情况下,一个分数可以化成有限小数或者无限循环小数(包括纯循环小数和混循环小数),但是不能化成无限不循环小数。 

   _OLE4851

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  用分子除以分母(7),其余数必定小于分母,每次的余数只能是从1到6之间的一个自然数(如果余数是0,这个分数就能化成有限小数);或者说,除数是7,余数只能是1、2、3、4、5、6这六个数。如果在除的过程中,有一个余数重复出现一次,那么后面所得的商与余数,也必定要重复出现。也就是说,余数一重复出现,商的相应数位上的数字也重复出现,循环就开始了,所得的商当然是循环小数。原来这个分数化成的是纯循环小数。

_OLE4852

  根据上述分析可以得出,当一个分数化成无限小数时,只能得到循环小数,而不可能化成无限不循环小数。

  分数虽然不能化成无限不循环小数,但在数学中无限不循环小数还是有的,如圆周率π值就是一个无限不循环的小数。

  π=3.14159265358979323846……

  无限不循环小数在数学上叫做无理数。

191.怎样把纯循环小数化成分数?

  在小学数学课本中,分数与有限小数是可以互化的。分数可以化成纯循环小数,但纯循环小数化成分数,并没有涉及。事实上,两者也是可以互化的,比起有限小数化成分数,纯循环小数化成分数的方法要稍难一些。

  例如:有限小数化成分数。

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  只要根据小数的最低位是什么数位,用10、100、1000等做分母,就可以直接化成分数,不是最简分数的,要约成最简分数。

  把纯循环小数化成分数,并不象有限小数那样,用10、100、1000等做分母,而要用9、99、999等这样的数做分母,其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数;一个循环节的数字所组成的数,就是这个分数的分子。

  _OLE4854

_OLE4855  

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  _OLE4857  

  _OLE4858  

这样,前面的四例可以得到证明。即:

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192.怎样把混循环小数化成分数?

  分数既然能化成混循环小数,同样,混循环小数也能化成分数。这种化的方法,比起纯循环小数化成分数的方法,就显得更为复杂一些。

  混循环小数化成分数的方法是:用第二个循环节以前的小数部分所组成的数,减去不循环部分所得的差,以这个差作为分数的分子;分母的前几位数字是9,末几位数字为0;9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同。

   120_233

  箭头所指是说明:循环节有一位写一个9,不循环部分有一位写一个0。

   120_234

  箭头所指说明:循环节有两位写两个9,不循环部分有一位写一个0。

   120_235

  箭头所指说明:循环节有两位写两个9,不循环部分有两位写两个0。

  这种化的方法,比纯循环小数化成分数明显要复杂,但究其算理,仍依据纯小数化成分数的方法。即:先把混循环小数化成纯循环小数的形式,然后再化成分数。上面三个例题通过推导,都可以得到证明。

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  推导结果与例(3)的中间脱式一致。

  由此可见,采用先扩大后缩小相同倍数的方法,根据纯循环小数化成分数的方法,证明混循环小数化成分数的方法是完全成立的。

193.为什么分子相同的分数,分母大的分数比较小?

  在小学数学课本中,涉及到分数大小比较时,经常遇到分子相同的分数进行比较。

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  结论是:分子相同的两个分数,分母小的分数比较大。反过来说,分子相同的两个分数,分母大的分数比较小。由于受到整数或小数大小比较的影响,学生在理解这个结论时,有时会在算理上表现出困惑。解决这种困惑,要从直观和分数单位两方面入手:

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  从圆形图和线段图中观察,凡是分子相同的分数,分母大的分数比较小。这个结论在直观上是能够接受的,但这并非全部的算理。因此,除直观外,还要从分数单位这个角度上进行具体的阐述。

  根据分数的意义,把单位“1”平均分成若干份,所分的份数是分母,表示取出的份数是分子,既然两个分数的分子相同,说明它们含有各自的分数单位个数是相同的,这时它们的大小就取决于分数单位的大小;而分数单位的大小又取决于分母,分母越大,分数单位就越小。所以,分子相同的分数,分母大的分数比较小。

  _OLE4862   _OLE4863 _OLE4864

194.什么是分数的相等和分数的不等?

  分数的相等是指两个分数的分数值一样。其定义是:如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积,等于第二个分数的分子与第一个分数的分母的积,那么,这两个分数就相等。

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  分数的不等是指两个分数的分数值不一样。其定义是:如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积,大于(或小于)第二个分数的分子与第一个分数的分母的积,那么,第一个分数就大于(或小于)第二个分数。这两个分数就是不等的。

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195.有什么简便方法,来比较异分母分数的大小?

  异分母分数由于分数单位不一致,在比较大小时,一般使用的方法,都是先进行通分,使异分母分数转化成同分母分数,有了相同的分数单位;然后再比较大小。

   _OLE4872

  除上述这一般方法外,还有一种较为简便的方法,即:异分母分数大小比较时,不必通分,只要把两个分数的分子、分母交叉相乘,根据这两个乘积进行比较就行了。

   _OLE4873

  用第一个分数的分子(5)去乘第二个分数的分母(10),所得的积是5×10=50;再用第二个分数的分子(7)去乘第一个分数的分母(9),所得的积是7×9=63。

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  为什么这种简便方法也能比较异分母分数的大小呢?其算理与一般方法先通分后比较是一样的,只不过是省略了通分的过程。两个分数的分子、分母交叉相乘,所得的积是在取得公分母情况下的各自的分子,分数单位既已一致,分子的大小就可以比较出分数的大小。但在这比较过程中,省略了通分,也就看不到公分母了。

   _OLE4874

  按一般方法先通分:

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196.同分母分数相加时,为什么原来的分母不变?

  同分母分数的加法法则是:分子相加的和作分子,原来的分母不变。

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  原来的分母不变的道理,在于分母是把单位“1”平均分成若干份的数,它决定了这个分数的分数单位,只表示每一份的大小,而不表示所取份数的多少;分子表示取了多少份的数,也就是有多少个分数单位。因此,同分母分数相加,由于是同分母,其分数单位也必然相同,相加的实质是几个相同分数单位的相加,只是分子的相加,而分母是不能变的。

   _OLE4879

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如果两个分母5也相加,那么分母就变成了10,这就表示把单位“1”

_OLE4881  

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下面线段图,可以说明一旦分母也相加所造成的错误结果。

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197.为什么在计算异分母分数加、减法时,要先通分?

  在进行整数加、减法计算时,对不同计量单位的各个数量,都不能直接进行加、减,必须化成相同单位的量,才能直接进行计算。

  如:4公顷-30亩=4公顷-2公顷=2公顷

  或:4公顷-30亩=60亩-30亩=30亩

  在整数中是这个道理,所以在计算异分母分数加、减法时,要先通分,其理由与上述道理也类似。由于异分母分数的分母不同,因而它们的分数单位也不一样。要直接进行加或减,必须把不同分母的分数转化成同分母分数,才能使分数单位一样,完成这个转化的手段就是通分。

   _OLE4883  

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  进行计算。

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  从上图可以看到,在进行异分母分数加法时,不经过通分,就无法使不同分数单位的分数转化成相同分数单位的分数。减法也是同样的道理。

198.有没有比较简便的方法来确定最小的公分母?

  在进行异分母分数加、减法时,必须先通分,使异分母分数转化成同分母分数,然后才能直接计算。通分首先要确定异分母分数的公分母,由于数是无限多的,因此公分母也是无限多的。只有确定最小公分母,才能使计算的过程变得简便。确定最小公分母就是求最小公倍数的应用,通常使用的比较简便的方法有以下几种:

  (1)当大分母是小分母的倍数时,大分母就是最小公分母。

   _OLE4886

  15是5的倍数,最小公分母为15。

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  24是8的倍数,最小公分母为24。

  (2)当几个分母是互质数时,这几个分母的乘积就是它们的最小公分母。

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  7和5是互质数,最小公分母为(7×5=)35。

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  3、5、7两两互质,最小公分母为(3×5×7=)105。

  (3)当几个分母有公约数时,这几个分母的最小公倍数,就是它们的最小公分母。

   _OLE4890

  8和12的最小公倍数是24,24就是最小公分母。

  由于在实际计算异分母加、减法时,分母都不会太大,可以通过对分母的观察,采用大分母翻倍法来确定最小公分母。所谓的大分母翻倍法,就是当几个分母有公约数时,不采用求最小公倍数的方法,而是把大分母扩大2倍、3倍、4倍、5倍、……。如果所得的结果是小分母的倍数时,这个结果就是最小公分母。

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  上述确定最小公分母的过程,不要求书写出来,它只是口算过程的表述。由于运用口算可以简化通分的程序,从而使确定最小公分母变得简便,也使异分母分数加、减法的准确计算提高了速度。

199.为什么分数乘以分数时,分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母?

  在分数乘法中,一般分为三种情况:分数乘以整数、整数乘以分数和分数乘以分数。前两种法则是:整数与分子相乘的积作分子,原来的分母不变。后一种的法则是:分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。实际上前两种法则与后一种法则是一致的,只要统一成分数乘以分数的法则就可以了。

   _OLE4891

  由于任何整数都可以写成分母是1的假分数,所以任何整数与分数相乘都可以转化成分数乘以分数的形式。至于分子相乘的积作分子,分母相乘的

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  均分成3份,两次均分成15份,根据所分的份数是分母的意义,分母为(5×3=)15;原来取的4份又均分成2份,这样就变成了8份,分子则为(4×2=)8,这8份是15份中的8份。

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  由此可见,分数乘以分数的计算法则,是由分数乘法的意义,即:求一个数的几分之几是多少来决定的。其中分母相乘的积作分母,表示单位“1”一共平均分成的份数;分子相乘的积作分子,表示一共取出的份数。

200.计算分数除法时,为什么要将除数的分子分母颠倒后用乘法计算?

  分数除法的计算法则是:甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。或者说,被除数不变,除数颠倒变乘。这个算理在“教”与“学”中都是重点和难点。正确地弄清这个算理,可以从以下五方面的任何一个方面入手。

  (1)从分数除法的原始法则进行分析:

  分数乘法的法则是:分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。根据乘、除法的关系,分数除法的原始法则是:分子相除的商作分子,分母相除的商作分母。

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  使用这种法则的局限性很大,因为无论是分子相除,还是分母相除,都能整除的情况是很少的,如果不能整除,其结果就会出现繁分数的情况,这就使计算结果变得更为复杂。

  根据除法中商变化的规律,被除数分子缩小几倍,商(分数值)也缩小相同倍数,要保证商缩小相应的倍数,不采用被除数缩小而采用除数扩大的方法,也同样达到被除数缩小的作用。除数缩小几倍,商反而扩大相同倍数,如果除数不缩小几倍,被除数扩大相应的倍数,商所起的变化也是一致的。除法有不能整除的情况,但换成乘法却没有乘不开的时候。为此,被除数不变,除数一定要颠倒变乘。

   _OLE4898   

就可以顺利地进行计算。

_OLE4899

  (2)从分数除法的意义来分析:

  分数除法的意义是:已知一个数的几分之几是多少,求这个数。以下题为例:

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120_246  s 

  从图示中看出,这本书分成4等份,其中的3份是60页,求4份是多少页。按照“归一”应用题的思路,可以得出下列算式:

  ①1份是多少页?60÷3=20(页)

  ②4份是多少页?20×4=80(页)

  所以, 

120_247

_OLE4901

  示的意思也是一样的,先求1份是多少页,再求4份是多少页。

  由此可以说明除数颠倒变乘的道理。

  (3)从分数的基本性质来分析:

  根据分数的基本性质,分数的分子和分母都乘以相同的数(零除外)分数的大小不变;按照分数除法的原始法则,为了使分子和分母都能整除,可以用除数中分子与分母的相乘积,分别去乘被除数的分子和分母。

120_248

  从脱式中可见,②式分子部分的×3与÷3可以消掉;分母部分的×4与÷4也可以消掉,②式转化成③式,再转化成④式,从而证明①式等于④式。这也可以说明除数颠倒变乘的道理。

  (4)从求一个数的几分之几用乘法来分析:

  可通过以下两道例题的解法做个比较。

  ①有20米布,平均分成5份,每一份是几米?

  20÷5=4(米)

     _OLE4902  

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  第①题是整数除法,第②题是分数乘法,这两道题所表述的意义却是一样的,都是把20米布平均分成5份,求一份是多少,其结果也是一样的。

   _OLE4904

   _OLE4905

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 一个分数,可将这个分数的分子、分母颠倒位置后,用乘法计算。

  (5)从“互为倒数的两个分数相乘等于1”来分析:

  _OLE4907

  _OLE4908  

  _OLE4909  

  _OLE4910

  按照乘法的交换律可以得出:

_OLE4911

  从以上五个方面进行分析,分数除法与分数乘法在一定条件下是可以互相转化的,这也是分数除法法则中,被除数不变而除数颠倒变乘的算理。

201.为什么分数除以整数时,整数只乘分母而不乘分子?

  在分数乘法中,遇到分数乘以整数时,法则规定是只乘分子而不乘分母。按照乘、除法之间的关系,分数除以整数时,也应该只除分子而不除分母,这个法则本身是成立的。

   _OLE4912

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 明,只除分子而不除分母是完全可以的。

  但是,在实际计算中,用上述方法常常遇到整数除分子不能整除,甚至不能除尽的情况,这就给计算留下一个并不明确的结果。

_OLE4915

  其结果为繁分数,繁分数本身又是分数除法,这样只能是越算过程越繁琐。由于受到“分子除以整数一定能整除”这个条件的限制,所以,分子除以整数的方法,就不能应用,如果改用只乘分母的方法,不仅可以得到分子除以整数的同样结果,而且在任何情况下这种方法都可以使用。

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  这样,既解决了分子除以整数不能整除的矛盾,同时也能较简便地得出结果。至于只乘分母不乘分子的道理,可从以下几方面进行分析:

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  来的数没有任何改变,剩下的只是分母与整数相乘了。

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_OLE4920  

  被除数(分子)不变,除数(分母)扩大3倍,商不是反而缩小3倍吗?从这个意义上讲,分子缩小几倍与分母扩大相同的倍数,所引起商的变化是一致的。

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  小5倍再缩小3倍,也就是等于把4缩小(5×3=)15倍。根据这个推理和转化,原算式则为:

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  从以上三方面的分析,都可以说明:为什么分数除以整数时,只乘分母而不乘分子的道理。

202.在分数、小数混合运算中,为什么有时把分数化成小数,而有时又把小数化成分数?

  在分数、小数的四则混合运算中,到底是把分数化成小数,还是把小数化成分数,这不仅影响到运算过程的繁琐与简便,也影响到运算结果的精确度,因此,要具体情况具体分析,而不能只机械地记住一种化法:小数化成分数,或分数化成小数。

  一般情况下,在加、减法中,分数化成小数比较方便。

     _OLE4925

  如果把小数化成分数,运算过程则为:

      _OLE4926

  从对比中可以看到:在加、减法中,如果分数化成小数,其计算要点只是小数点对齐,而省去了小数化成分数后,中间需要通分的过程,最后的结果,小数没有约分的要求,而分数有时还要约分。

  不过,在加、减法中,有时遇到分数只能化成循环小数时,就不能把分数化成小数。因为带着循环小数进行运算,不可能得到精确的结果。因此在这种情况下,小数又只能化成分数了。

   _OLE4927

_OLE4928

  正确的结果就有了一定的误差。

  在乘、除法中,一般情况下,小数化成分数计算,则比较简便。这是因为化成分数后,中间的过程可以约分,经过约分后,数字也变小,这样既提高了准确性,也提高了计算的速度。

   _OLE4929

  此题的分数如化成小数,其过程将是这样的:

_OLE4930

  从形式上看,分数化成小数并不繁琐,实际计算时,有时需要大乘、大除,运用口算是难以完成的,并且计算过程中易于出错。小数化成分数,其过程基本上都是在口算中进行的,所以,在实际计算时要简便得多。

  上述只是一般情况,有些特殊情况,小数也不一定必须化成分数,这就是小数和分母能直接约分时,小数不用化成分数,而看作整数直接进行约分,但必须注意:小数点一定要保持原来的位置。

  120_249

  通过以上各种情况的分析,在分数、小数四则混合运算中,要根据具体情况,灵活地选择互化的方法,以达到运算简便,结果正确的目的。

203.在分数四则运算中,经常出现的错误有哪些?

  在分数四则运算中,基础知识稍有缺欠,就会造成运算过程中的错误,从而导致计算结果的严重误差,这对个别学生来说,则形成了久治不愈的顽症。造成这种现象的原因,主要是单项计算不过关。一般来讲,其原因及形式有以下几个方面:

  (1)概念不清:

_OLE4931

  这反映出对带分数的概念是不清楚的,带分数是自然数与真分数的和的一种

_OLE4932  

_OLE4933

  来,从而导致了上述错误。

  (2)法则混淆:

  运算是凭借法则来进行的,法则一旦发生混淆,是产生错误的普遍性原因。在分数乘、除法中,表现尤为突出。

_OLE4934

  这两道题的结果都是错的,造成错的原因都是法则上的混淆。上题是分数乘以整数,法则是:分子与整数相乘,分母不变; 下题是分数除以整数,法则是:分母与整数相乘,分子不变,从脱式的过程看,这两个法则在运用上都颠倒了。

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  分数除法是将除数的分子、分母颠倒后相乘,结果是一看到第一个运算符号是除号,立即把后面的两个分数的分子、分母都颠倒了,造成了分数乘、除法法则的混淆。

  (3)粗心大意:

  由于学习作风的马虎和对计算结果缺乏认真负责的良好品质,出现这类错误也是各式各样的。

  如:抄错运算符号和数字。

   _OLE4936

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  计算结果的错误则是必然的了。

  又如:约分的错误。

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  在42的下面没写6而写成了7。或者分子25和分母15约分时,口中默念三五十五,却在15的下面写了5。这种约分的错误,不仅表现在运算过程中,也表现在最后得数上,不是约分约错,就是该约分而没约分。

  再如:不等式的错误。

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  第一步脱式就把最后一个数丢掉了,就出现了不等式,在第二步脱式时,

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  除上述三方面的经常性错误外,还有由于基本口算不过关、不注意运算顺序和简便运算的因素等原因所造成的错误。这些错误的出现一般也有规律性,即:数字较大的运算、相近法则的运算、小数和分数的运算、过程复杂的运算等内容,都易于发生上述几方面的错误。因此,在端正学习态度的前提下,针对易于出现的错误,采取预防措施,以减少计算错误的发生。

204.什么是繁分数和繁分数的化简?

  在一个分数的分子和分母里,至少有一个又含有分数,这样形式的分数,叫做繁分数。

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  繁分数中,把分子部分和分母部分分开的那条分数线,叫做繁分数的主分数线(也叫主分线)。主分线比其他分数线要长一些,书写位置要取中。在运算过程中,主分线要对准等号。如果一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数,我们就把最长的那条主分线,叫做中主分线,依次向上为上一主分线,上二主分线……;依次向下叫下一主分线,下二主分线……;两端的叫末主分线。

  如:

120_250

  根据分数与除法的关系,分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。

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  把繁分数化为最简分数或整数的过程,叫做繁分数的化简。繁分数化简一般采用以下两种方法:

  (1)先找出中主分线,确定出分母部分和分子部分,然后这两部分分别进行计算,每部分的计算结果,能约分的要约分,最后写成“分子部分÷分母部分”的形式,再求出最后结果。

   120_251

  此题也可改写成分数除法的运算式,再进行计算。

     _OLE4943

  (2)繁分数化简的另一种方法是:根据分数的基本性质,经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数(这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数),从而去掉分子部分和分母部分的分母,然后通过计算化为最简分数或整数。

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  繁分数的分子部分和分母部分,有时也出现是小数的情况,如果分子部分与分母部分都是小数,可依据分数的基本性质,把它们都化成整数,然后再进行计算。如果是分数和小数混合出现的形式,可按照分数、小数四则混合运算的方法进行处理。即:把小数化成分数,或把分数化成小数,再进行化简。

205.什么叫百分数、百分比、百分率和百分法?

  表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数是分数的一种特殊形式,也可以说,分母是100的分数叫做百分数。

  在工农业生产和科学研究工作中,人们经常要收集有关数据,以便进行必要的数量统计、数量比较、质量分析和效果检查等各项工作。如果用一般分数形式来表示,由于分母不同,不容易看出精确的变化,而百分数的分母都是100,只要看分子,就能看出数与数之间的明显差别与变化。因此,百分数在各行各业的生产和生活中,都有着广泛的应用。

  如:(1)家俱厂通过深化改革,今年产量是去年产量的128%。

  (2)王新全家在调整工资后,收入比以前增加了25%。

  (3)某县由于计划生育取得成效,今年出生率比去年下降了2%。

  把两个数的比的后项化成100,就叫做百分比。

  如:拖拉机厂四月份生产拖拉机225台,五月份生产250台。四、五两月生产台数的百分比是225∶250=90∶100。

  用100作分母表示成数时,所表示的成数叫做百分率。

  如:(1)水稻去年亩产比前年亩产增产了二成。这二成就是成数,一成表示十分之一,二成则表示十分之二,也就是20%。

  (2)某工厂上半年完成了全年计划的六成三。这里的六成三用小数表示是0.63,用百分率表示是63%。

  百分数、百分比、百分率这三个概念,尽管在不同范围和情况下,表述上略有不同,但所表示的意思却是一致的。

  用百分率表示事物的数量关系和计算方法,叫做百分法。或者说,求百分率以及应用百分数解决实际问题的方法,叫做百分法。

  如:(1)六年级(一)班有学生 50人,今天出勤 48人,求出勤人数是应出勤人数的百分之几?

  48÷50=0.96=96%

  答:出勤人数是应出勤人数的96%。

  (2)加工车间有工人120人,今天出勤率是95%,求今天出勤了多少人?

  120×95%=114(人)

  答:今天出勤了114人。

206.什么是百分数问题?

  在小学数学中,有关百分数的应用题,叫做百分数问题。百分数问题通常分为以下三种类型。

  (1)求一个数是(或比)另一个数的百分之几(或多与少)的应用题。求出勤率、出粉率、合格率等,都属于求一个数是另一个数的百分之几的应用题;求增产率、上升率等均属于求一个数比另一数多百分之几的应用题;求节约率、下降率等均属于求一个数比另一个数少百分之几的应用题。

  解答这类应用题的方法和规律,与分数除法应用题中,求一个数是另一个数的几分之几的类型完全相同。

  如①五年级有男生22人,女生20人,求男生人数是女生人数的百分之几?

  22÷20=1.1=110%

  答:男生人数是女生人数的110%。

  ②化肥厂91年产量是3.5万吨,92年产量是4.2万吨,求92年比91年增产百分之几?

  (4.2-3.5)÷3.5=0.7÷3.5=0.2=20%

  答:92年比91年增产20%。

  ③某地区91年出生人口是12000人,92年出生11400人,92年比91年人口出生下降了百分之几?

  (12000-11400)÷12000=0.05=5%

  答:92年比91年人口出生下降5%。

  (2)求一个数的百分之几是多少的应用题。这类题目与分数乘法应用题中,求一个数的几分之几是多少的应用题,在结构和解答规律上是完全一致的。

  如:建筑工地需要水泥240吨,已经运来75%,还差多少吨没运?

  240×(1-75%)=240×25%=60(吨)

  答:还差60吨没运。

  (3)已知一个数的百分之几是多少,求这个数的应用题。这类题目与分数除法应用题中,已知一个数的几分之几是多少,求这个数的应用题,在结构和解答规律上,也是一致的。

  如:一根电线,剪去它的40%,还剩5.4米,这根电线是多少米?

  5.4÷(1-40%)=5.4÷0.6=9(米)

  答:这根电线是9米。

207.利率和利息这两个概念一样吗?

  在小学数学教材中,虽然没有涉及利率和利息这部分知识,但在实际生活中,一般人都要到银行进行储蓄,无论是活期还是定期,必然和利率和利息产生联系。因此,弄清这两个概念的联系和区别,处理好储蓄这个生活中的实际问题,无疑是有实用意义的。

  到银行去储蓄,储蓄的金额叫做“本金”,简称“本”。银行根据储蓄金额和储蓄时间,付给储蓄人的报酬叫做“利息”。每月(或每年)利息对本金的比,叫做“利率”。也就是说,每月(或每年)获得的利息是依据本金和利率而计算出来的。

  利率按月来计算的叫月利率,按年来计算的叫年利率。一般情况下,利率是按月计算的,通常用千分数的形式表示。

  例如:月利率六厘三,写作6.3‰;月利率7.2,写作7.2‰。

  计算利息和利率的方法是:

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  例如:王老师去银行存款400元,定期半年(6个月),到期取得利息12.24元,求定期存款半年的月利率是多少?

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  答:定期存款半年的月利率是5.1‰(五厘一)。

  又如:张小国去银行活期存款200元,月利率为4.2‰,6个月后取出,得利息多少元?

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  答:5个月后得利息5.04元。

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