小升初专项训练 工程篇

  • A+
所属分类:小升初数学试卷

小升初专项训练 工程篇

希望考入重点中学?

我们成就梦想的地方!

paobu

一、小升初考试热点及命题方向

罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题:
某项工程,若甲、乙单独去做,甲比乙多用4天
完成;若甲先做2天后,再和乙一起做,则共用7天可完成,问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成?
答案:
设甲、乙两人每人完成该项工程的一半,以题意,甲、乙两人单独完成,甲比乙多用4天,所以每人单独完成一半时,甲比乙多用2天。
另外,已知甲先做2天,然后与乙合作,7天完成,这就是说,甲、乙共同完成全部工作时(每人做一半),相差刚好2天,那么很明显,甲在7天中正好完成了工程的一半,而乙在5天中也完成了工程的一半。
这样,甲单独完成要14天,乙单独完成要10天。

工程问题在历届考试中之所以难,是因为工程问题中比例和单位“1” 综合。还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。

二、2013年考点预测

13年的这一题型必然将继续出现,题型的出题热点在利用通项表达式(即字母表示)总结出已知条件中等式的内在规律和联系,这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力,希望同学们多加练习。

三、知识要点

在工程问题中,一般要出现三个量:工作总量、工作时间(完成工作总量所需的时间)和工作效率(单位时间内完成的工作量)。

深刻理解公式的用法

 

【基本公式】:这三个量之间有下述一些关系式:

工作效率×工作时间=工作总量;

工作总量÷工作时间=工作效率;

  工作总量÷工作效率=工作时间。

  为叙述方便,把这三个量简称工量、工时和工效。

【规律总结】:不要求记忆,但要求能够理解和运用。

(1)工效提高了a%,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的100/(100+a)。时间缩短了a/(100+a)。

(2)工效降低了a%,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的100/(100-a)。时间延长了a/(100-a)。

(3)工效提高了a/b, 工作总量不变的前提下,工时则变为原来的a/(a+b)。时间缩短了b/(a+b)。

(4)工效降低了a/b,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的b /(b-a)。时间延长了a/(b-a)。

(5)当出现甲工作了一段时间a,乙工作了一段时间b,则通常是把条件处理为甲乙和干了a(或b时间)后甲单干(a-b)(或乙单干(b-a)段时间)

四、典型例题解析

1 涉及二者的工程问题

【例1】(★★)一项工程,甲单独做6天完成,乙单独做12天完成。现两人合作,途中乙因病休息了几天,这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天?

【解】:方法一:4.5天甲完成了4.5÷6=3/4,乙完成了1/4,需要(1/4)÷(1/12)=3天,所以乙休息了4.5-3=1.5天。

方法二:假设乙没休息,这样两人4.5天总共完成4.5×()=,而总工作量只有1,所以多出来的就是乙休息时间里做的,所以乙休息了÷=1.5天。

【答】:乙休息了1.5天。

【例2】(★★)有240个零件,平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务,因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件,而且比甲车间晚40分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的3倍,那么甲车间每小时能加工多少个零件?

【解】:40分钟=小时,乙车间一共比甲车间少用了小时,乙车间的效率是甲车间的3倍,乙比甲少工作4-=3小时,但都完成了120个零件。如果乙和甲的时间是一样的话,那么乙就会多完成240个零件,也就是说乙在3小时内可做240个零件,所以乙每小时完成的零件个数为240÷3=72个,甲每小时完成72÷3=24个零件。

【答】:甲每小时能加工24个零件。

2 涉及三者的工程问题

 

【例3】(★★★)一项工程,甲队单独做24天完成,乙队单独做30天完成。现在甲、乙两队先合做8天,剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做,需要几天?


【解】:方法一:设工作总量为[24,30]=120单位,则甲队每天完成240÷24=5单位,乙队每天完成240÷30=4单位。前8天,甲、乙两队共完成(5+4)×8=72单位,则丙6天完成120-72=48单位,丙每天完成48÷6=8单位。那么,如果从开始就让丙队单独做,需要120÷8=15天。

方法二:甲工作效率为1/24,乙的工作效率为1/30,这样甲乙合作8天完成的工作量为(1/24+1/30)×8=9/15,所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天,所以丙的工作效率为6/15÷6=1/15,所以丙要做15天。

【答】:如果从开始让丙队独做,需要15天。

【例4】(★★★)某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成。甲工程队工作3天后离开,同时乙、丙两个工程队加入,又工作了3天后,乙工程队离开,此时刚好完成工程的一半,那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成,还需要几天?

【解】:可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了3天,干完了工程的一半。因为甲乙合作需要12天完成,所以甲乙两队合作3天共完成了全部工程的。可以算出丙队3天完成的工作量是。则剩下的一半工程,丙队需要独做6天才能完成。

【答】:还需要6天。

【例5】(★★★)马师傅和张师傅合伙加工一批零件,原计划马师傅每天比张师傅多加工8个零件,共用了15天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率,叫了一个徒弟从一开始就来帮忙,结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件,这样用了12天就完成了,那么马师傅每天加工多少个零件?

【解】:由题意知徒弟每天加工零件8+4=12个。设工作总量为[12,15]=60份,这样原来张、马二人的工效之和为60÷15=4份,现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为60÷12=5份,相差1份,表明1份为12个零件。

原来两位师傅每天一共加工零件12×4=48个,马师傅又比张师傅每天多8个,则他每天加工(48+8)÷2=28个。

【答】:马师傅每天加工28个零件。

【例6】(★★★)有甲、乙、丙三组工人,甲组4人的工作,乙组需要5人来完成;乙组的3人工作,丙组需要8人来完成。一项工作,需要甲组13人来完成,乙组15人3天来完成。如果让丙组10人去做,需要多少天来完成?

【解】:设甲组每人每天的工作量为1,则乙组每人每天的工作量为4/5,丙组每人每天的工作量为:4/5×3/8=3/10。

这项工作的总工作量为:(1×13+4/5×15)×3=75

丙组10人需要干:75÷3/10÷10=25(天)。

  1. 涉及多者的工程问题

【例7】(★★)一项工程,45人可以若干天完成。现在45人工作6天后,调走9人干其他工作。这样,完成这项工程就比原来计划多用了4天。原计划完成这项工程用多少天?

【解】:前6天的工作可看作是按原计划进行,设原计划还需要天完成。剩余的工作按照45人进行和实际的人进行相差4天,表明36人最后4天的量相当于调走的那9个人天的工作量。则为36×4÷9=16天。原计划用16+4=20天。

【答】:原计划用20天完成。

【例8】(★★★)A、B、C、D、E五个人干一项工作,若A、B、C、D四人一起干需要6天完成;若四人干,需要8天完工;若A、E两人一起干,需要12天完 工。那么,若E一人单独干需要几天完工?

【解】:可设工作总量为[6,8,12]=24单位,则A、B、C、D四人每天完成4单位,B、C、D、E四人完成3单位,表明A每天比E多做1单位;由题意又可知A、E两人一天完成2单位,则A每天完成(2+1)÷2=1.5单位,E每天完成(2-1)÷2=0.5单位。那么,如果由E一人单独做需要24÷0.5=48天。

【答】:如果由E一人单独做需要48天。

【例9】(★★★★)某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成;如果由第一、三、五小队合干需要7天完成;如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成;如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程?

【思路】:我们注意到,在题目中二、四、五每支队都恰出现两次,一、三两支小队恰出现三次,因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和.因此,再加上一个二、四、五3支小队效率和,得到的结果就应该是5个小队效率的3倍.

【解】:通过条件,我们有以下公式:

 (一+二+三+四+五)×3=(一+二+三)+(一+三+五)+(二+四+五)×2+(一+三+四).

所以,5支小队效率和为:

 

  1. 水箱注水的工程问题

【例10】(★★★)水池安装A、B、C、D、E五根水管,有的专门放水,有的专门进水。如果每次用两根水管同时工作,注满一池水所用时间如下表所示:

A,B C,D E,A D,E B,C
2 6 10 3 15

如果选用一根水管注水,要尽快把空池注满,问应选用哪根水管?

答:D。

提示:由题中的表可以看出注水的速度的大小。比较第一列与第三列得B>E,比较第一列与第五列得A>C,比较第二列与第五列得D>B,比较第二列与第四列得E>C,比较第三列与第四列得D>A。

【例11】(★★★)有甲、乙两根水管,分别同时给两个大小相同的水池A和B注水,在相同时间内甲、乙两管注水量之比7:5。经过时,A、B 两池中已注入水之和恰好是一池水。此后,甲管的注水速度提高25%,乙管的注水速度降低 30%。当甲管注满A池时,乙管还需多长时间注满B池?

【解】:因为相同时间内甲、乙两管注水量之比7:5不变,所以经过恰好是一池水时,甲乙水管分别注入一池水的、。如果注水速度不变,那么注满一池水甲、乙管分别还需_OLE11584

注水速度变化后,注满一池水甲、乙水管分别还需

_OLE11585

所以,当甲水管注满A池时,乙水管注满B池还需

_OLE11586

5 较复杂的工程问题

【例12】(★★★★)一项工程,乙单独做需要17天完成;如果第一天由甲作,第二天乙做,这样交替轮流做,那么恰好整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,这校交替轮流做,那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成?

来源:人大附测试题

【解】:如果两人轮流做完的天数是偶数,那么不论甲先还是乙先,两种轮流做的方式完成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天,说明甲先时,完成的天数一定是奇数。于是可表示为:

39_819

竖线左边的工作量相同,右边的工作量也相同,说明乙做一天等于甲做半天,乙做17天相当于甲做8.5天。

【例13】(★★★★)有甲乙两个工程,现分别由A、B两个施工队完成。在晴天A队完成工程需要8天,B队完成工程需要12天,在雨天,A施工队的工作效率下降60﹪,B施工队的工作效率下降20﹪。最后两个施工队同时完成这两项工程,问施工的日子里雨天有多少天?

【解】:10天。

晴天时,A施工队比B的工作效率高:1/8-1/12=1/24

雨天时,B施工队比A的工作效率高:

1/12(1-20﹪)-1/8(1-60﹪)=1/60

要想两队同时完成,则由1/24:1/60=5/2可知,必须是每2个晴天有5个雨天,而此时完成工程的:1/8×2+1/8×0.4×5=1/2,故整个工程共有4个晴天,10个雨天。

【教师选讲】:

有一个蓄水池装有9根水管,其中一根为进水管,其余8根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人打开出水管,使池内的水全部排光(这时池内已经注入了一些水)。如果把8根进水管全部打开,需要3小时把池内的水全部排出;如果仅打开5根出水管,需要6小时把池内的水全部排光。问要想在4.5小时内把池内的水全部排出,需要同时打开几根出水管?

【解】:这道题是“牛吃草”问题与工程问题的综合。

设每根出水管1小时的排水量为单位“1”。8根出水管3小时共排水24单位,5根出水管6小时共排除水30小时,表明进水管6-3=3小时进水30-24=6单位,则进水速度为每小时2单位,池中原有水24-2×3=18或30-2×6=18单位。如果要在4.5小时内将水全部排出,池中原有的水加上这段时间内进水管注入的水一共为18+2×4.5=27单位,每小时排水27÷4.5=6单位,则需要同时打开6根出水管。

【拓展】“牛吃草”问题

例题选讲:有一片牧场,草每天匀速生长,如果牧民在此放24只羊,则6天吃完草;如果放牧21只羊,则8天吃完,每天吃草的量都是相等的.问:

1、如果放牧16只羊,则几天可以吃完牧草?

2、要是牧草永远吃不完,最多放几只羊?

【解】:1、设草每天吃1份。24只羊,则6天吃完草,说明6天长的草+原来的草共24×6=144; 21只羊,8天吃完,说明8天长的草+原来的草共21×8=168份; 所以两天长的草168-144=24份,即每天长12份,

这样原来草为144-6×12=72份,那么草地每天长的草够12头羊吃一天.如果放16头羊,那么12头够吃长出来的草,还剩下4头吃原来的72份,这样可以吃18天。

2、若要牧草永远吃不完,羊只能吃新长的草,所以最多只能放12头羊.

[补充试题]:一块1500平方米的牧场上长满牧草,每天都匀速生长。可供18头牛吃16天,或是供27头牛吃8天。如果这片牧场有6000平方米,6天中最多可供几头牛吃?

【解】:设每天吃1份,这样18头牛吃16天共18×16=288份,供27头牛吃8天共216份,多出来288-216=72份就是8天多长出来的,所以每天草长9份,这样原来草总共是288-9×16=144份,现在牧场有6000平方米,所以是原来的4倍,所以现在草有144×4=576,每天长36份,这样每天新长的草要36头牛吃,而原来的草要吃6天,要576÷6=96头牛,所以总共要132头牛。

【课外知识】

牛吃草问题

由于打字员的辞职,一个公司积压下一批需要打印的材料,而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。假设材料以页计数,每个打字员的打字速度是相同的、固定的(单位是负/天)。如果公司聘任5名打字员,24天就恰好打完所有材料;如果公司聘任9名打字员,12天就恰好打完所有材料。公司聘任了苦干名打字员,工作8天之后,由于业务减少,每大新增的需要打印的材料少了一半,结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作。问:公司聘任了多少名打字员?
【分析】
解这类型题的关键需要了解打印材料的有关情况:积压下的材料数量和每天增加的材料数量。其解法和解决牛吃草问题类似。
【解】设每个打字员1天打字为1,则5名打字员24天打了5×24=120,
9名打字员12天打了 9×12=108。
材料每天增加(120-108)÷(24-12)=l。
原有材料120-24×1=96。
40天实际材料总量96+1×8+(40-8)×1÷2=120。
打字员人数120÷40=3(人)。
答:公司聘任了3名打字员。
【评注】
本例把聘任制问题迁移到牛吃草问题中,这种简便新颖的解法令人拍案叫绝!

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型:

1)涉及二者的工程问题 参见例1,2

2)涉及三者的工程问题 参见例3,4,5,6

3)涉及多者的工程问题 参见例7,8,9

4)水箱注水的工程问题 参见例10,11

5)较为复杂的工程问题 参见例12,13,

作业题

 

(注:作业题--例题类型对照表,供参考)

题1,4,6,7—类型1;题2—类型4;题3,5—类型5,题8—类型2

1、(★★)某工程限期完成,甲队单独做正好按期完成,乙队单独做误期3天才能完成,现在两队合作2天后,余下的工程再由乙队独做,也正好按期完成。那么该工程限期是多少天?

【解】:6天。由题可知,甲2天的工作量相当于乙3天的 工作量,所以工程期限为:2×(3÷(3-2))=2×3=6天。

2.(★★)某水池有甲、乙、丙3个放水管,每小时甲能放水100升,乙能放水125升。现在先使用甲放水,2小时后,又开始使用乙管,一段时间后再开丙管,让甲、乙、丙3管同时放水,直到把水放完。计算甲、乙、丙管的放水量,发现它们恰好相等。那么水池中原有多少水?

【解】:甲开始2小时放水200升,最后3管放的水相同,而乙管每小时比甲管多放25升水,所以乙管放水的时间为200÷25=8小时,放水量为125×8=1000升。因此池中原有水3000升。

3.(★★★)张师傅加工540个零件。他前一半时间每分生产8个,后一半时间每分生产12个,正好完成任务。当他完成任务的45%时,恰好是上午9点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒?

【解】:平均每分加工(8+12)÷2=10(件),加工540件共需54分。由题意知,前27分加工了8×27=216(件),540件的45%是243件,243-216=27(件),这27件是以每分12件的速度加工的,所用时间为27÷12=(分)。到9点时加工所用的时间为27+=(分)=29分15秒。所以开始时是8时30分45秒。

4. (★★★) 甲、乙二人同时开始加工一批零件,每人加工零件总数的一半,甲完成任务的1/3时乙加工了50个零件,甲完成3/5时乙完成了一半。问:这批零件共多少个?

【解】:360个。提示:甲完成3/5时乙完成了一半,效率比为6:5。所以乙加工50个零件的时候甲应该加工了60个。占1/3。所以甲的总任务180个。这批零件为360个。

5. (★★★)李师傅加工一批零件,第一天加工了48个,第二天比第一天多加工25%,第三天比第二天多加工5%,三天共完成这批零件的95%。这批零件共有多少个?

解:48×[1+125%×(1+105%)]÷95%=180(个)。

6. (★★★) 单独完成一件工程,甲需要24天,乙需要32天。若甲先做若干天以后乙接着做,则共用26天时间,问:甲独做了几天?

【解】:如果26天都由乙来做,他能完成的工作量为

可是由于有甲参与其中,所以实际上26天完成了整个工作

甲做一天比乙做一天多做

所以甲做的天数为天。

7. (★★) 修一段公路,甲队独做要用40天,乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工,结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米?

 _OLE11615_OLE11616

8. (★★★)有A,B两堆同样多的煤,如果只装运一堆煤,那么甲车需要20时,乙车需要24时,丙车需要30时。现在甲车装运A堆煤,乙车装运B堆煤,丙车开始先装运A堆煤,中途转向装运B堆煤,三车同时开始,同时结束装完这两堆煤。丙车装运A堆煤用了多少时间?

【解】:以装运一堆煤的工作量为1,则三车共同完成的工作量_OLE11617_OLE11618

9、(★★★)某筑路队按照旧施工方法制定了施工计划,干了4天后改用新施工方法,由于新施工方法比旧施工方法效率高50%,因此比计划提前1天完工。如果用旧施工方法干了200米后就改用新施工方法,那么可以比计划提前2天完工。问:原计划每天筑路多少米?几天完工?

【解】:新、旧施工方法的效率之比为150∶100,用旧施工方法干3天等于用新施工方法干2天。又由于用旧施工方法干4天后改用新施工方法可提前1天,所以用旧施工方法干1天后改用新施工方法可提前2天。再由题设条件知,用旧施工方法1天筑路200米,需7天完成。

名校真题 测试卷7 (工程篇)

时间:15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________

1 (06年三帆中学考题)

原计划18个人植树,按计划工作了2小时后,有3个人被抽走了,于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树,还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.

 

 

2 (05年首师附中考题)

一项工程,甲做10天乙20天完成,甲15天乙12也能完成。现乙先做4天,问甲还要多少天完成?

 

 

  1. (05年人大附中考题)

一部书稿,甲单独打字要14小时完成,乙单独打字要20小时完成。如果先由甲打1小时,然后由乙接替甲打1小时,再由甲接替乙打1小时,……两人如此交替工作。那么,打完这部书稿时,甲、乙二人共用了多少小时?

 

 

 

4 (06年西城四中考题)

如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水,1小时可以灌满;如果用甲、乙两管,1小时20分钟可以灌满;如果用乙、丙两根水管,1小时15分钟可以灌满,那么,用乙管单独灌水的话,灌满这一池的水需要 ______小时。

 

 

 

5 (01年北大附中考题)

一项工程,预计15个工人每天做4个小时,18天可以完成。为了赶工期,增加3人并且每天工作时间增加1小时,可以提前_______天完工。

 

 

 

【附答案】

1 【解】: 3人被抽走后,剩下15人都多植树1棵,这样每小时都总共多植树15棵树,因为还是按期完成任务,所以这15棵树肯定是3人原来要种的,所以原来每人要植树15÷3=5棵。

2 【解】:甲10天+乙20天=1;甲15天+乙12天=1,所以工作量:甲10天+乙20天=甲15天+乙12天,等式两端消去相等的工作量得:乙8天=甲5天,即乙工作8天的工作量让甲去做只要5天就能完成,那么整个工程全让甲做要15+12×=22.5天。现在乙了4天就相当于甲做了4×=2.5天,所以甲还要做20天。

3 【解】:甲的工作效率=,乙的工作效率= ,合作工效=,甲乙交替工作相当于甲乙一起合作1小时,这样1÷==8…,所以合作了8小时,这样还剩下就是甲做的,所以甲还要做÷=3,所以两人总共作了8+8+小时。

4 【解】:方法一:(编者推荐用法)甲、乙、丙60分钟可以灌满,甲、乙两管80分钟可以灌满,乙、丙两根水管75分钟可以灌满;这样我们先找出60、80、75的最小公倍数,即1200,所以我们假设水池总共有1200份,这样甲、乙、丙每分钟灌1200÷60=20份,甲、乙每分钟灌1200÷80=15份,乙、丙每分钟灌1200÷75=16份,所以乙每分钟灌15+16-20=11份,这样乙单独灌水要1200÷11=分钟。

方法二:设工作效率求解,省略。

5 【解】:假设每个工人每小时做一份,这样总工程量=15×4×18=1080份,增加3人每天增加1小时,那么需要的时间=1080÷(15+3)÷(4+1)=12天,所以提前6天完成。

1569316870-小升初专项训练 工程篇

  • 微信号:nmshengdas
  • QQ群:935384298
  • weinxin
  • 我的微信公众号
  • 更多资源关注微信公众号
  • weinxin

发表评论

:?: :razz: :sad: :evil: :!: :smile: :oops: :grin: :eek: :shock: :???: :cool: :lol: :mad: :twisted: :roll: :wink: :idea: :arrow: :neutral: :cry: :mrgreen: